Question

y=3x^3+5x^2-4x+7,求y

Answer 1

问：y=3x^3+5x^2-4x+7,求y

问：∫（5x+7）^3dx

答：根据给定的多项式，我们可以直接代入$x$的值来求解$y$。具体来说，将$x$的值代入多项式，然后根据指数运算和常数运算，将所有项相加即可求得$y$。 例如，当$x=2$时，我们有： $y = 3(2)^3 + 5(2)^2 - 4(2) + 7$ $= 3(8) + 5(4) - 8 + 7$ $= 24 + 20 - 8 + 7$ $= 43$ 因此，当$x=2$时，$y=43$。同样的方法可以用于求解多项式在其他$x$值处的取值。

答：我们可以使用不定积分的线性性质和幂函数的积分公式来求解该积分。 首先，根据不定积分的线性性质，我们可以将被积函数拆分为两个部分： ∫(5x+7)^3 dx = ∫(5x)^3 dx + 3(7)(5^2)∫(5x)^2 dx + 3(7)^2(5)∫(5x) dx + (7)^3∫1 dx 接下来，我们可以使用幂函数的积分公式来依次求解每个不定积分： ∫(5x)^3 dx = (5/4)x^4 + C1 ∫(5x)^2 dx = (5/3)x^3 + C2 ∫(5x) dx = (5/2)x^2 + C3 ∫1 dx = x + C4 其中，C1、C2、C3 和 C4 分别为积分常数。将这些结果代入最开始的式子，我们得到： ∫(5x+7)^3 dx = (5/4)x^4 + 3(7)(5^2)(5/3)x^3 + 3(7)^2(5)(5/2)x^2 + (7)^3(x) + C 其中，C = C1 + C2 + C3 + C4 为积分常数。 因此，∫(5x+7)^3 dx = (5/4)x^4 + 175x^3 + 1225x^2 + 343x + C，其中 C 为任意常数。

问：求微分方程dx/dy=2xy^2+2x的通解

答：首先，将微分方程 $\frac{dx}{dy} = 2xy^{2} + 2x$ 转化为分离变量的形式，即： $\frac{dx}{2x+2} = y^{2} dy$ 接下来，对两边同时积分，得到： $\frac{1}{2} \ln|2x+2| = \frac{1}{3} y^{3} + C$ 其中，C 为积分常数。 将等式两边同时取指数，得到： $|2x+2|^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{3} y^{3}+C}$ 由于指数函数的绝对值是正的，因此可以去掉绝对值符号。 再将等式两边平方，得到： $2x+2 = e^{\frac{2}{3} y^{3}+2C}$ 化简后得到： $x = \frac{1}{2} (e^{\frac{2}{3} y^{3}+2C} - 1)$ 因此，微分方程的通解为： $x = \frac{1}{2} (e^{\frac{2}{3} y^{3}+C_{1}} - 1)$ 其中，C_{1} 为任意常数。

答：亲，照片太过模糊，能提供清晰 的还是文字信息吗？

答：要求 z/x，我们需要将 y 看作常数，对 x 求偏导数，即： "z/"x = 2xy + 2y^2 因此，z 对 x 的偏导数为 2xy + 2y^2，即 z/x = 2xy + 2y^2。 要求 z/y，我们需要将 x 看作常数，对 y 求偏导数，即： "z/"y = x^2 + 4xy 因此，z 对 y 的偏导数为 x^2 + 4xy，即 z/y = x^2 + 4xy。

问：求微分方程dy/dx=2xy^2+2x的通解

答：一阶非齐次常微分方程 可以使用变量分离法求解。 将方程变形为：$\frac{dy}{y^2} = 2x dx + 2dx$ 对两边同时积分，得到：$\int \frac{1}{y^2} dy = \int (2x + 2) dx$ 对左边积分得到：$- \frac{1}{y} = x^2 + 2x + C_1$（其中 $C_1$ 为常数） 解出 $y$，得到通解：$y(x) = - \frac{1}{x^2 + 2x + C_1}$ 这就是该微分方程的通解。