Question

1.设 f(x)在R上以2 为周期并且在 [0,2] 上有 f(x)=(-x)^2/4 .i).求f(x)的傅

Answer 1

问：1.设 f(x)在R上以2 为周期并且在 [0,2] 上有 f(x)=(-x)^2/4 .i).求 f(x)的傅

答：你好，很高兴为你解答，首先我们可以将 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上展开为一个奇函数，即 $f(x) = -f(-x)$，然后根据傅里叶级数的定义，可以得到： $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{n\pi x}{L}$$ 其中 $L$ 是函数的周期，这里 $L=2$。由于 $f(x)$ 是个偶函数，所以 $b_n=0$，只需要求解 $a_0$ 和 $a_n$ 即可。 $$\begin{aligned} a_0 &= \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 (-x)^2/4 \mathrm{d}x + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2/4 \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2/4 \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} a_n &= \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 (-x)^2/4 \cos n x \mathrm{d}x + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2/4 \cos n x \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2/4 \cos n x \mathrm{d}x \end{aligned}$$

答：\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 (-x)^2/4 \cos n x \mathrm{d}x + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2/4 \cos n x \mathrm{d}x \ & = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2/4 \cos n x \mathrm{d}x \ & = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{n^2} \left[ x^2 \cos n x \right]0^\pi - \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2}{n^2} \int_0^\pi x \sin n x \mathrm{d}x \ & = \frac{2}{\pi n^2} \cdot (-1)^{n+1} f(x) = \frac{1}{6} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} \cos n x$$

问：第一题，这是大学数学系数学分析的题

答：亲亲，你好，我这边无法查看图片，但是对您题目以做答

问：1.设 f(x)在R上以2 为周期并且在 [0,2] 上有 f(x)=(兀一X)的平方的1/4，求 f(x)的傅里叶级数并证明f（x）的傅里叶级数在R上一致收敛于f（x）

问：就这个题，跟开始一样，开始的不太清，你会不会啊

答：首先，我们可以将 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上展开为一个偶函数，即 $f(x) = f(-x)$。 然后，根据傅里叶级数的定义，我们可以得到： $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{n\pi x}{L}$$ 其中 $L$ 是函数的周期，这里 $L=2$。 由于 $f(x)$ 是个偶函数，所以 $b_n=0$，只需要求解 $a_0$ 和 $a_n$ 即可。 $$a_0 = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 (-x)^{1/2} \mathrm{d}x + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^{1/2} \mathrm{d}x = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^{1/2} \mathrm{d}x = \frac{4}{3\pi}$$ $$a_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} \mathrm{d}x = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{d}x = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 (-x)^{1/2} \cos n x \mathrm{d}x + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^{1/2} \cos n x \mathrm{d}x = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^{1/2} \cos n x \mathrm{d}x = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{(-1)^n}{(4n^2-1)^{3/2}}$$ 因此，$f(x)$ 的傅里叶级数为：$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{n\pi x}{L}$$

答：f(x) = \frac{2}{3\pi} + \frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(4n^2-1)^{3/2}} \cos n x$$接下来，我们需要证明 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $R$ 上一致收敛于 $f(x)$。由于 $f(x)$ 是一个连续函数，根据傅里叶级数的收敛定理，只需要证明 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_n$ 满足瑕积分条件，即：$$\int_{-\infty}^\infty |a_n| \mathrm{d}x < \infty$$我们来证明 $a_n$ 满足瑕积分条件。$$\begin{aligned}\int_{-\infty}^\infty |a_n| \mathrm{d}x &= \int_{-\infty}^\infty \left| \frac{4}{\pi} \cdot \frac{(-1)^n}{(4n^2-1)^{3/2}} \right| \mathrm{d}x \&= \frac{8}{\pi} \cdot \frac{1}{(4n^2-1)^{3/2}} \int_0^\infty x^{1/2} \cos n x \mathrm{d}x \&= \frac{16}{\pi} \cdot \frac{1}{(4n^2-1)^{5/2}} \int_0^\infty t^{3/2} \cos t \mathrm{d}t \quad (t=nx) \&= \frac{16}{\pi} \cdot \frac{24\sqrt{2}}{(4n^2-1)^{5/2}} \&= \frac{96\sqrt{2}}{\pi} \cdot \frac{1}{(4n^2-1)^{5/2}} \&< \frac{96\sqrt{2}}{\pi} \cdot \frac{1}{n^5}\end{aligned}$$由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5}$ 收敛，根据 Weierstrass 判别法，可知 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $R$ 上一致收敛于 $f(x)$。因此，$f(x)$ 的傅里叶级数为：$$f(x) = \frac{2}{3\pi} + \frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^\in