Question

21.曲线积分 (x^3+xy^2)dx+(y^3+x^2y+x)dy ,其中c是从0(0.0)经A(1,1),B(2,0)

Answer 1

问：21.曲线积分 (x^3+xy^2)dx+(y^3+x^2y+x)dy ,其中c是从0(0.0)经A(1,1),B(2,0)

答：计算曲线积分，我们需要确定曲线的参数化表示。 根据题目给出的点A(1,1)、B(2,0)，我们可以选择以下两段曲线来构成路径C： 从点A(1,1)到点B(2,0)：可以用参数方程表示为 x = t + 1, y = 1 - t，其中 t 的取值范围是从 0 到 1。 从点B(2,0)到点C(0,0)：可以用参数方程表示为 x = 2 - t, y = -t，其中 t 的取值范围是从 0 到 2。 现在，我们可以分别计算在路径C上两段曲线的积分，并将结果相加得到最终的曲线积分。 对于第一段曲线，我们有： ∫[A to B] (x^3+xy^2)dx+(y^3+x^2y+x)dy = ∫[0 to 1] ((t+1)^3 + (t+1)(1-t)^2)(1)dt + ∫[0 to 1] ((1-t)^3 + (t+1)^2(-t) + (t+1))(-1)dt 对于第二段曲线，我们有： ∫[B to C] (x^3+xy^2)dx+(y^3+x^2y+x)dy = ∫[0 to 2] ((2-t)^3 + (2-t)(-t)^2)(-1)dt + ∫[0 to 2] (("

问：这个可以用格林公式做吗

答：对于第二段曲线，我们有： ∫[B to C] (x^3+xy^2)dx+(y^3+x^2y+x)dy = ∫[0 to 2] ((2-t)^3 + (2-t)(-t)^2)(-1)dt + ∫[0 to 2] ((-t)^3 + (2-t)^2(-t) + (2-t))(-1)dt 最后，将两段曲线的积分结果相加即可得到整个路径C上的曲线积分的值。

问：格林公式可以做吗

答：发来看看

答：亲，首先，我们需要检查曲线积分的路径是否是一个简单闭合曲线。即是否存在一条连续不自交的曲线将A、B两点连接起来。 在这个问题中，路径是从原点出发，经过点A(1,1)，再经过点B(2,0)的路径，因此路径是没有自交的，是一个简单闭合曲线。 接下来，我们需要检查被积函数的偏导数是否在路径上是连续的。 在这个问题中，被积函数是f(x, y) = x^3 + xy^2，它的偏导数为∂f/∂x = 3x^2 + y^2 和 ∂f/∂y = 2xy。 这两个偏导数在整个平面上都是连续的，所以它们在路径上也是连续的。 由于路径是简单闭合曲线且被积函数的偏导数在路径上是连续的，所以可以使用格林公式来计算这个曲线积分。