Question

三个非零的自然数之和是88,它们的最大公因数是多少?

Answer 1

问：三个非零的自然数之和是88,它们的最大公因数是多少?

答：亲 您好 很高兴为您解答 希望以下回复能够帮助到您亲，关于您的问题这边给出的答案是：设这三个自然数分别为 $a,b,c$，且它们的最大公因数为 $d$，则有 $a=dm,b=dn,c=dp$，其中 $m,n,p$ 两两互质。因为三个数的和是88，所以有$$a+b+c=dm+dn+dp=d(m+n+p)=88.$$由于 $m,n,p$ 两两互质，所以 $d$ 必须整除88。又因为 $a,b,c$ 三者非零，所以 $d\geq1$。因此，我们只需要在所有能够整除88的正整数中找到最大的满足条件 $a,b,c\geq1$ 的值即可。将 88 分解质因数得到：$88 = 2^3 \times 11$。考虑以下几种情况：- 如果$d=88$，那么$a=b=c=88/3\notin \mathbb{N}$，不符合题意。- 如果$d=44$，那么$a+b+c=d(m+n+p)=2d(m'+n'+p')=88/2=44$，其中$m',n',p'$任意选择三个不全是偶数的正整数，则有$a,b,c\geq1$。此时显然就有$d=a=b=c=44$。- 如果$d=22,11,2,1$，同理可以验证没有符合题意的解。综上所述，这三个自然数的最大公约数为 $44$。