Question

21.已知函数 f(x)=3x^4-4mx^3+6mx^2-12m^2x+1(x0), 其中 m>0 若对任意x属于[0，√m]都有f(x)≤1求m的取值范围

Answer 1

问：21.已知函数 f(x)=3x^4-4mx^3+6mx^2-12m^2x+1(x0), 其中 m>0 若对任意x属于[0，√m]都有f(x)≤1求m的取值范围

答：根据题目给出的条件，我们可以列出不等式：f(x) = 3x^4 - 4mx^3 + 6mx^2 - 12m^2x + 1 ≤ 1化简得：3x^4 - 4mx^3 + 6mx^2 - 12m^2x ≤ 0将其因式分解：x(3x - 2m)(x - 3m) ≤ 0由于 m > 0，因此 3m > 0，所以 x - 3m 0。当 x ∈ [0, 3m) 时，有 x > 0 和 3x - 2m > 0，即 x(3x - 2m)(x - 3m) 0。因此，对于任意 x ∈ [0, 3m)，都有 f(x) ≤ 1。当 x ∈ [3m, √m] 时，有 x > 0 和 3x - 2m 0，即 x(3x - 2m)(x - 3m) ≥ 0。因此，对于任意 x ∈ [3m, √m]，都有 f(x) > 1。综上所述，要使对于任意 x ∈ [0, √m] 都有 f(x) ≤ 1，需要满足：0 < 3m ≤ √m解得：0 < m ≤ 1/9因此，m 的取值范围为 (0, 1/9]。

问：x的范围是x＞0

答：非常抱歉，我在之前的回答中漏掉了题目中给定的条件 x > 0。在这个条件下，原来的结论无法保持不变。根据题目给出的条件 x > 0，我们可以将不等式转化为：f(x) = 3x^4 - 4mx^3 + 6mx^2 - 12m^2x + 1 ≤ 1化简得：3x^4 - 4mx^3 + 6mx^2 - 12m^2x ≤ 0将其因式分解：3x^2(x - 2m)(x - 2m/3) ≤ 0由于 m > 0，因此 2m > 0，2m/3 > 0。因此：当 x ∈ (0, 2m/3] 时，有 x > 0 和 x - 2m 0，即 3x^2(x - 2m)(x - 2m/3) > 0。因此，对于任意 x ∈ (0, 2m/3]，都有 f(x) > 1。当 x ∈ [2m/3, 2m) 时，有 x > 0 和 x - 2m/3 > 0，x - 2m 0，即 3x^2(x - 2m)(x - 2m/3) ≤ 0。因此，对于任意 x ∈ [2m/3, 2m)，都有 f(x) ≤ 1。当 x ∈ [2m, ∞) 时，有 x > 0 和 x - 2m > 0，即 3x^2(x - 2m)(x - 2m/3) ≥ 0。因此，对于任意 x ∈ [2m, ∞)，都有 f(x) > 1。综上所述，要使对于任意 x > 0 都有 f(x) ≤ 1，需要满足：2m/3 ≤ x < 2m解得：m ≤ x/(2-x/3)因此，m 的取值范围为 (0, 2/(5+√13)]。

问：不是很懂

答：（1）当m=1时，f(x)可以简化为f(x) = 3x⁴ - 4x³ + 6x² - 12x + 1。我们可以求出f'(x) = 12x³ - 12x² + 12x - 12，然后求解f'(x) = 0的解析式。通过因式分解，可得f'(x) = 12(x-1)(x²-x+1)，所以f'(x) = 0时，x的取值为x=1或x=(1±√3i)/2。由此可以画出f(x)的一阶导数图像：

答：从图中可以看出，f(x)在区间[0,1]上是单调递减的，在区间[1,∞)上是单调递增的。因此，f(x)的单调区间为[0,1]和[1,∞)。（2）由于f(x) = 3x⁴ - 4mx³ + 6mx² - 12m²x + 1，且m＞0，因此f(x)的四次项系数为正数，说明f(x)的开口向上。同时，我们已知对任意x∈{0，√m}，都有f(x)≤1。因此，我们可以将x=0代入f(x)得到1≥f(0)=1，即不等式成立。将x=√m代入f(x)得到1≥f(√m)=3m²-4m√m+1，即3m²-4m√m≤0。移项并平方可得12m³-16m²≤0，即m(m-4/3)≤0。因为m>0，所以当03时，不等式成立。当m>4/3时，由于m(m-4/3)>0，所以不等式不成立。综上所述，实数m的取值范围为0

问：这三次给的答案都不一样啊

答：最后一个

问：还有一个疑问，题目给的是x属于[0，√m]这个区间啊不是集合

答：非常抱歉，我在上一个回答中有误解您的问题。您所提到的是区间而不是集合，区间和集合虽然数学符号上长得类似，但其含义是有区别的。在数学中，区间表示一个数轴上的一段连续的数值范围。例如，[0, √m] 表示从0到√m这段闭区间，包括0和√m两个端点。而集合则是一个有限或无限的元素的集合，可以用大括号“{ }”来表示。例如，{1, 2, 3, 4, 5} 表示一个包含了元素1、2、3、4和5的集合。因此，在题目中，x∈[0, √m]的表述表示x的取值范围在[0, √m]这个区间内，即0 ≤ x ≤ √m。