Question

正交变换定义

Answer 1

正交变换是指一个线性变换保持向量的长度和向量间的角度不变的变换。在数学上，它也被称为正交矩阵或旋转矩阵。也就是说，正交变换将一个向量从一个位置移动到另一个位置，但是不改变向量的长度、方向和夹角。因此，正交变换非常有用，用于许多领域，例如物理学和计算机图形学。
正交变换不同于一般的线性变换，因为它保持向量的长度和向量间的角度不变。这意味着，如果一个向量在变换前是垂直的，则在变换后两个向量仍然是垂直的。同样地，如果一个向量在变换前是单位向量，则在变换后向量仍然是单位向量。这样的特性使正交变换在几何学和图像学中得到了广泛的应用。
我们可以通过将 n 维向量表示为矩阵来描述正交变换。正交变换矩阵是一个正交矩阵，它满足矩阵的转置等于矩阵的逆，也就是说，矩阵的每一列都是单位向量，并且这些向量相互垂直。当我们进行正交变换时，我们可以通过将原始矩阵与正交矩阵相乘来计算出变换后的矩阵。
正交变换在许多应用中都非常有用。例如，正交变换用于图像处理中的旋转和缩放。正交变换也用于物理学中的坐标系变换，以及计算机科学中的矩阵变换和信号处理等领域。
总之，正交变换是一种将向量从一个位置移动到另一个位置，但不会改变向量长度或夹角度的线性变换。这种变换非常有用，可以用在各种不同的领域，例如物理学、计算机图形学、图像处理等。