Question

如图， 圆O是三角形ABC的外接圆，AB是圆O的直径，D是AB延长线上的一点AE⊥DC交DC的延长线于点E，

且AC平分∠EAB,AB=6，BD=3，求AE和BC

Answer 1

△ABC为 直角三角形

OC=OA

∵AC平分∠EAB

∴∠OCA=∠CAE

即AE∥OC

∴∠OCD=90

∵OC=3    OD=6

∴∠D=30    ∠DOC=60

∴BC=OC=OB=3

AE=4.5

Answer 2

证明：连结OC。
因为 AC平分角EAB，
所以 角EAC=角OAC，
因为 OA=OC，
所以 角OAC=角OCA，
所以 角EAC=角OCA，
所以 OC//AE，
所以 OC/AE=OD/AD，
因为 AB是圆O的直径，AB=6，BD=3，
所以 OC=3，AD=9，OD=6，
所以 3/AE=6/9， AE=9/2，
因为 AB是圆O 的直径，
所以 角ACB=90度，
因为 AE垂直于DC，
所以 角AEC=90度，
所以 角ACB=角AEC，
又因为 角EAC=角CAB，
所以 三角形ABC相似于三角形ACE，
所以 AB/AC=AC/AE，
所以 AC平方=ABXAE=6X（9/2）=27
AC=3根号3
在三角形ABC中，
因为 角ACB=90度，AB=6，AC=3根号3，
所以 由勾股定理可得：BC=3。

Answer 3

解：连结OC，则∠COD=2∠CAD，由于AC平分∠EAD，所以∠EAD=2∠CAD，所以∠COD=∠EAD，即OC∥AE。由于AE⊥DE，所以OC⊥DE于C，由切线的判定定理，DE是圆的切线。所以有切割线定理得DC²=DB×AD，所以DC=根27=3根3. 。由于AE∥OC，得AE/OC,=AD/OD，即AE/3=9/6，所以AE=9/2=4.5.。在Rt△DOC中，OC=3，OD=6，∴∠D=30°，∠COD=60°。在△OCB中OC=OB，所以△OCB是等边三角形，所以BC=3.。

Answer 4

没学呢