Question

怎么证明f(x)＝x-1/x的(-∞,0)的单调性

RT，要过程

Answer 1

设Z<Y<0，显然Z,Y满足区间(-∞,0)。
f(Z)-f(Y)＝(Z-1/Z)-(Y-1/Y)=(Z-Y)+(1/Z-1/Y)=(Z-Y)+(Y-Z)/(Z*Y)=(Z-Y)*(Z*Y-1)/(Z*Y)
在区间(-∞,-1)上：(Z-Y)<0,(Z*Y-1)>0,(Z*Y)>0,得出f(Z)-f(Y)<0，f(x)＝x-1/x在(-∞,-1)的
单调性
递增，
在区间[-1,0)上：(Z-Y)<0,(Z*Y-1)<0,(Z*Y)>0,得出f(Z)-f(Y)>0，f(x)＝x-1/x在[-1,0)的单调性递减。

Answer 2

f(x)＝x-x的负一次方
导数f'(x)＝1+x的负二次方=1+1/x2
当x属于(-∞,0)，
所以导数f‘(x)>0
即函数f(x)在定义域(-∞,0)上递增

Answer 3

取任意x1,x2属于(0,+oo)且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(1/x2-1/x1)
因为
x1<x2
所以
1/x2<1/x1
x1-x2<0
1/x2-1/x1<0
(x1-x2)+(1/x2-1/x1)<0
所以
f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)是增函数

Answer 4

设0>x1>x2,fx1-fx2=（x1-x2）/x1x2。x1-x2>0,x1x2>0,所以fx1-fx2>0，所以fx在(-∞,0)是单调增函数