Question

x^5-10x^3-20x^2-15x-4如何因式分解

Answer 1

问：x^5-10x^3-20x^2-15x-4如何因式分解

答：第一：高次代数式裂项法，即把某一项分成两项，然后进行分解。例1：因式分解x^3-3x+2, 如果吧3x分成-4x+x,原式变为：(x^3-4x)+（x+2）=x(x^2-4)+(x+2)=x(x+2)(x-2)+(x+2), 现在提取公因式得（x+2）（x^-2x+1）=(x+2)(x-1)^2。再看一个例题，例2, 因式分解x^3+6x-20=x^3-2^3+6x-12,这里分解x^3-2^3要 用立方差公式(下面要讲)。原式分为(x-2)(x^2+2x+4)+6(x-2)=(x-2)(x^2+2x+10)。

答：第二：高次代数式添项去项法。 例1：$x^3 - y^3$，我们可以减一个$x^2*y$，再加一个$x^2*y$得到 $x^3 - x^2*y + x^2*y - y^3 = x^2(x-y) + y(x^2-y^2) = x^2(x-y) + y(x+y)(x-y) = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$。 同理，$x^3 + y^3 = x^3 + x^2*y - x^2*y + y^3$，最终分解为$(x+y)(x^2 - xy + y^2)$。 例3，因式分解代数式：$4a^4 + b^4$，这像一个完全平方式，所以考虑加一个$4a^2*b^2$，然后再减去它得到 $4a^4 + 4a^2*b^2 + b^4 - 4a^2*b^2 = (2a^2+b^2)^2 - 4a^2*b^2 = (2a^2+b^2+2ab)(2a^2+b^2-2ab)$。

答：第三：高次代数式的特值待定系数法 例1：因式分解5x^3+3x^2+2 观察代数式发现，当x=-1时，代数式的值是-5+3+2=0 所以可以把原式子分出一个x+1 假设原式子可分解成(x+1)(5x^2+ax+2) 打开括号得一次项为： ax+2x 对比发现a=-2 所以，原式分解为(x+1)(5x^2-2x+2) 再看一个例题，例2 因式分解2x^3+x^2-20 观察发现，x=2时，原式值为0 可以分出一个（x-2） 假如原式已分解成(x-2)(2x^2+ax+10) 打开括号得二次项为ax^2-4x^2 对比发现a=5 故：2x^3+x^2-20=（x-2）（2x^2+5x+10）。