Question

设m是大于1的正整数，a是与m互素的整数证明:存在唯一的整数b适合ab=1(mod m)以及0<b<m

Answer 1

问：设m是大于1的正整数，a是与m互橘亏洞素圆枯的整数证明:存在唯一的空返整数b适合ab=1(mod m)以及0

答：# 指数和原根 设 $m$ 是大于1的正整数， $a$ 是与 $m$ 互素的正整数，则使得 $ae=1( mod m)$ 成立的最小正整数 $e$ 叫做 $a$ 对模 $m$ 的指数，记作 $ord_m(a)$。如果 $a$ 对模 $m$ 的指数是 $m$ 的欧拉函数值，则 $a$ 叫做模 $m$ 的原根。 2. 指数的基本性告高吵质 类似于周期序列 $u$ 的最小周期 $p(u)$，可以把指数也理解成 $ax$ 的一个周期。 设 $m>1$ 是整袜侍数， $a$ 是与 $m$ 互素的整数，则整数 $d$ 使得 $ad=1( mod m)$ 的充分必要条件是 $ord_m(a) | d$。 推论1：设 $m>1$ 是整数， $a$ 是与 $m$ 互念腔素的整数，则有 $ord_m(a) | E(m)$。即 $m$ 的欧拉函数值一定是 $a$ 对模 $m$ 指数的倍数。 注：通常用这个性质，来求 $ord_m(a)$。 推论2：设 $p$ 是奇素数，且 $p-\frac{1}{2}$ 也是素数， $a$ 是绝对值大于1的整数，则有：$ord_p(a)=\frac{p-1}{2}$ 或 $p-1$。 证明可由推论1直接证出。 设 $m$ 是大于1的整数， $(a,m)=1$，则 $a_0, a_1,…, a_{ord_m(a)-1}$ 模 $m$ 两两互异。