求证：两角平分线相等的三角形是等腰三角形.
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设三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB
,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BC=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,
∴BF=CE
∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,
∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
咨询记录 · 回答于2024-01-04
求证：两角平分线相等的三角形是等腰三角形.
**三角形ABC**
- 角B、角C的平分线是BE、CD
- 作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB
- BF=BD, ∠BDC=∠EBF
**设∠ABE=∠EBC=α, ∠ACD=∠DCB=β**
- ∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β)
- ∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β)
∴∠FBC=∠CEF
**证明FB与CE平行**
∵2α+2β<180°
∴α+β<90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上。设垂足分别为G、H;
**证明Rt△CGB≌Rt△FHE**
- ∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF, ∴Rt△CGB≌Rt△FHE
- CG=FH, BC=HE
连接CF
∵CF=FC, FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
- FG=CH, ∴BF=CE, ∴CE=BD
∵BD=CE, BC=CB, ∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
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