Question

y=根号下x^2+e^x/(x+1)(x+2)的导数

Answer 1

问：y=根号下x^2+e^x/(x+1)(x+2)的导数

答：# 求解函数y=根号下x^2+e^x/(x+1)(x+2)的导数 对原式$y = \sqrt{x^{2} + \frac{e^{x}}{(x+1)(x+2)}}$进行求导，需要运用到复合函数求导的方法。 具体步骤如下： 1. 令$u = x^{2} + \frac{e^{x}}{(x+1)(x+2)}$，则有：$y = \sqrt{u}$ 2. 对y求导，可以使用链式法则，即：$y' = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} \cdot u'$ 其中，$u'$表示u对x的导数。 3. 对于u的导数，我们可以运用加法求导法则、乘法求导法则和商法则进行求解，具体步骤如下： $u' = (x^{2})' + (\frac{e^{x}}{(x+1)(x+2)})' + (x^{2} + \frac{e^{x}}{(x+1)(x+2)})'$ 其中，$(x^{2})' = 2x$ 表示$x^{2}$对x的导数，$(e^{x})' = e^{x}$ 表示$e^{x}$对x的导数，$(u/v)' = (u'v - uv')/v^{2}$ 表示u除以v对x的导数。 对于第一项，我们可以直接求导，有：$(2x + \frac{e^{x}(2-x)}{(x+1)^{2}(x+2)^{2}})$

答：对于第二项，我们可以先将e^x/(x+1)(x+2)展开，再进行求导。具体步骤如下： (u2)' = [(x^2)'(x+1)(x+2) + x^2[(x+1)(x+2)]'] + [(e^x)'(x+1)(x+2) - e^x[(x+1)(x+2)]'] / [(x+1)(x+2)]^2 = 2x(x+1)(x+2) + [e^x(2-x)(x+1)(x+2) - 2e^x(x+1)(x+2)] / [(x+1)(x+2)]^2 = 2x(x+1)(x+2) + [e^x(2-x) - 2e^x/(x+1) - 2e^x/(x+2)] / (x+1)^2(x+2)^2 将(u1)'和(u2)'相加，有： u' = 2x + [e^x(2-x) - 2e^x/(x+1) - 2e^x/(x+2)] / (x+1)^2(x+2)^2 + [(x^2) + e^x/(x+1)(x+2)]' 对于第二项的导数，我们可以利用复合函数求导和商法则，有： [(x^2) + e^x/(x+1)(x+2)]' = (x^2)' + [(e^x/(x+1)(x+2))'] = 2x + [(e^x)'(x+1)(x+2) - e^x((x+1)(x+2))'] / (x+1)^2(x+2)^2 将u'代入y'的表达式中，有： y' = (1/2)u^(-1/2)u' = (1/2)(x^2+e^x/(x+1)(x+2))^(-1/2)(2x + [e^x(2-x) - 2e^x/(x+1) - 2e^x/(x+2)] / (x+1)^2(x+2)^2 + 2x + [e^x(2-x)] / (x+1)^2(x+2)^2) = x*(x^2+e^x/(x+1)(x+2))^(-1/2) + e^x*(4x-1)/(2(x+1)^2(x+2)^2*(x^2+e^x/(x+1)(x+2))^(-1/2)) 因此，y=根号下(x^2+e^x/(x+1)(x+2))的导数为 y' = x*(x^2+e^x/(x+1)(x+2))^(-1/2) + e^

答：将表达式代入x=1的值中，可以得到： y' = [e(3+5+2)/(1+1)^2(1+2)^2 + 2(1)(1+1)(1+2) - 2e/(1+1)(1+2)] / (2*√(1+e/(1+1)(1+2))) = [e10/36 + 2123 - 2e/6] / (2*√(1+e/6)) = (5/9)√(1+e/6)，在x=1处，y的导数为(5/9)√(1+e/6)。