Question

空间两点A(x,y,z)与B(a,b,c)处各放置一单位质量的质点,求质点A对B的引力大小

Answer 1

问：空间两点A(x,y,z)与B(a,b,c)处各放置一单位质量的质点,求质点A对B的引力大小

答：根据万有引力定律，两个质点之间的引力大小为：$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$其中，$G$ 是万有引力常量，$m_1$ 和 $m_2$ 分别是两个质点的质量，$r$ 是两个质点之间的距离。在本题中，$m_1 = m_2 = 1$，$G$ 也是已知的常量，因此我们只需要计算出 $r$ 即可。两点之间的距离为：$r = \sqrt{(a-x)^2 + (b-y)^2 + (c-z)^2}$将两个公式代入，得到：$F = G\frac{m_1m_2}{r^2} = G\frac{1 \cdot 1}{(a-x)^2 + (b-y)^2 + (c-z)^2}$因此，质点 A 对质点 B 的引力大小为 $F$。

问：有用向量回答的吗

答：可以的

答：设质点A的位置向量为$\vec{r_1} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}$，质点B的位置向量为$\vec{r_2} = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}$，则质点A对B的引力向量$\vec{F_{A\to B}}$为：$$\vec{F_{A\to B}} = -G\frac{m_1m_2}{|\vec{r_{1}-r_{2}}|^3}(\vec{r_{1}-r_{2}})$$其中，$G$为万有引力常数，$m_1$和$m_2$为两个质点的质量。将两个质点的质量都设置为单位质量，则$G=m_1=m_2=1$，上式可以简化为：$$\vec{F_{A\to B}} = -\frac{1}{|\vec{r_{1}-r_{2}}|^3}(\vec{r_{1}-r_{2}})$$代入具体数值，可以得到：$$\vec{F_{A\to B}} = -\frac{1}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}^3}\begin{pmatrix}x-a\y-b\z-c\end{pmatrix