Question

8设 f(x)=x|x(x-1)(x-2)^2] ,判断f(x)在x=0,x=1,x=2是否可导

Answer 1

问：8设 f(x)=x|x(x-1)(x-2)^2] ,判断f(x)在x=0,x=1,x=2是否可导

答：亲亲您好！很高兴为您解答：要判断函数f(x)在特定点是否可导，需要检查该点是否满足导数的定义。导数的定义要求函数在该点附近存在一个唯一的切线。首先，我们将分别考虑x=0、x=1和x=2三个点。1. x = 0:计算f(0) = 0|0(0-1)(0-2)^2 = 0，此时f(x)在x=0的值为0。然而，要判断f(x)在x=0是否可导，我们需要计算f(x)在x=0处的左导数和右导数，即左极限和右极限。左极限：lim(x→0-) [f(x) - f(0)] / (x - 0) = lim(x→0-) [f(x) - 0] / x = lim(x→0-) [x|x(x-1)(x-2)^2|] / x = lim(x→0-) |(x-1)(x-2)^2| = |(-1)(-2)^2| = 4右极限：lim(x→0+) [f(x) - f(0)] / (x - 0) = lim(x→0+) [f(x) - 0] / x = lim(x→0+) [x|x(x-1)(x-2)^2|] / x = lim(x→0+) |(x-1)(x-2)^2| = |(1)(2)^2| = 4左极限和右极限都存在且相等，且极限值为4，因此f(x)在x=0处的导数存在。2. x = 1:计算f(1) = 1|1(1-1)(1-2)^2 = 0，此时f(x)在x=1的值为0。左极限：lim(x→1-) [f(x) - f(1)] / (x - 1) = lim(x→1-) [f(x) - 0] / (x - 1) = lim(x→1-) [x|x(x-1)(x-2)^2|] / (x - 1) = lim(x→1-) |(x)(x-2)^2| = |(1)(1-2)^2| = 1右极限：lim(x→1+) [f(x) - f(1)] / (x - 1) = lim(x→1+) [f(x) - 0] / (x - 1) = lim(x→1+) [x|x(x-1)(x-2)^2|] / (x - 1) = lim(x→1

答：左极限和右极限都存在且相等，且极限值为1，因此f(x)在x=1处的导数存在。x = 2:计算f(2) = 2|2(2-1)(2-2)^2 = 0，此时f(x)在x=2的值为0。左极限：lim(x→2-) [f(x) - f(2)] / (x - 2)= lim(x→2-) [f(x) - 0] / (x - 2)= lim(x→2-) [x|x(x-1)(x-2)^2|] / (x - 2)= lim(x→2-) |(x)(x-1)(x-2)^2|= |(2)(2-1)(2-2)^2| = 0右极限：lim(x→2+) [f(x) - f(2)] / (x - 2)= lim(x→2+) [f(x) - 0] / (x - 2)= lim(x→2+) [x|x(x-1)(x-2)^2|] / (x - 2)= lim(x→2+) |(x)(x-1)(x-2)^2|= |(2)(2-1)(2-2)^2| = 0左极限和右极限都存在且相等，且极限值为0，因此f(x)在x=2处的导数存在。综上所述，函数f(x)在x=0、x=1和x=2处都是可导的。

问：还有上面两题可以讲一下嘛

答：6。要求函数f(x)在x = 2处的导数，可以使用求导公式进行计算。首先，我们可以将函数f(x)展开为两个部分：x² 和 sin(x-2)。然后，分别对这两个部分求导，并将结果相加，即可得到f'(x)。对于 x²，我们知道其导数为 2x。对于 sin(x-2)，其导数为 cos(x-2)。将这两个导数相乘，即得到了 f'(x) = 2x cos(x-2)。现在，我们将 x = 2 代入上述导数公式，即可得到 f'(2) 的值：f'(2) = 2 * 2 * cos(2-2) = 4 * cos(0) = 4 * 1 = 4。因此，f'(2) 的值为 4。

答：7。不会

答：8。要判断函数f(x)在给定点可导与否，我们需要检查该点的左导数和右导数是否相等。首先，我们来分析函数f(x)在x=0的情况。我们需要计算x=0处的左导数和右导数。左导数：f'(0-) = lim┬(h→0-)⁡[f(0+h)-f(0)]/h = lim┬(h→0-)⁡[f(h)-f(0)]/h = lim┬(h→0-)⁡[h|h(h-1)(h-2)|-0]/h = lim┬(h→0-)⁡[h^2|h(h-1)(h-2)|]/h = lim┬(h→0-)⁡[h|h(h-1)(h-2)|] = 0右导数：f'(0+) = lim┬(h→0+)⁡[f(0+h)-f(0)]/h = lim┬(h→0+)⁡[f(h)-f(0)]/h = lim┬(h→0+)⁡[h|h(h-1)(h-2)|-0]/h = lim┬(h→0+)⁡[h^2|h(h-1)(h-2)|]/h = lim┬(h→0+)⁡[h|h(h-1)(h-2)|] = 0由于左导数和右导数相等，f(x)在x=0处可导。接下来，我们来分析函数f(x)在x=1的情况。左导数：f'(1-) = lim┬(h→0-)⁡[f(1+h)-f(1)]/h = lim┬(h→0-)⁡[f(1+h)-f(1)]/h = lim┬(h→0-)⁡[h|h(h-1)(h-2)|-1]/h = lim┬(h→0-)⁡[h^2|h(h-1)(h-2)|-h]/h = lim┬(h→0-)⁡[h|h(h-1)(h-2)|-1] = -1右导数：f'(1+) = lim┬(h→0+)⁡[f(1+h)-f(1)]/h = lim┬(h→0+)⁡[f(1+h)-f(1)]/h = lim┬(h→0+)⁡[h|h(h-1)(h-2)|-1]/h = lim┬(h→0+)⁡[h^2|h(h-1)(h-2)|-h]/h = lim┬(h→0+)⁡[h|h(h-1)(h-2)|-1] = -1

答：由于左导数和右导数相等，f(x)在x=1处可导。最后，我们来分析函数f(x)在x=2的情况。左导数：f'(2-) = lim┬(h→0-)⁡[f(2+h)-f(2)]/h= lim┬(h→0-)⁡[f(2+h)-f(2)]/h= lim┬(h→0-)⁡[h|h(h-1)(h-2)|-4]/h= lim┬(h→0-)⁡[h^2|h(h-1)(h-2)|-4h]/h= lim┬(h→0-)⁡[h|h(h-1)(h-2)|-4]= -4右导数：f'(2+) = lim┬(h→0+)⁡[f(2+h)-f(2)]/h= lim┬(h→0+)⁡[f(2+h)-f(2)]/h= lim┬(h→0+)⁡[h|h(h-1)(h-2)|-4]/h= lim┬(h→0+)⁡[h^2|h(h-1)(h-2)|-4h]/h= lim┬(h→0+)⁡[h|h(h-1)(h-2)|-4]= -4由于左导数和右导数相等，f(x)在x=2处可导。综上所述，函数f(x)在x=0, x=1, x=2处都可导。