Question

说明:教材中向量组秩的定义是定义良好的(亦即若向量组有不止一个极大+线性

Answer 1

问：说明:教材中向量组秩的定义是定义良好的(亦即若向量组有不止一个极大+线性

问：说明：教材中向量组秩的定义是定义良好的（亦即若向量组有不止一个极大线性无关组，不同极大线性无关组中向量个数都一样多）

问：这个是完整问题 谢谢

答：补充说明：向量组的秩是指向量组中一个最大线性无关组中向量的个数。当一个向量组存在多个最大线性无关组时，不同的最大线性无关组中向量的个数是相同的。这是因为，若两个最大线性无关组的向量个数不同，则其中一个一定包含另一个的所有向量，这与最大线性无关组的定义相矛盾。因此向量组秩的定义是良好的。向量组秩的定义中涉及最大线性无关组的概念，确保了向量组秩的唯一性和严格性。

问：说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与的列向量组中任一向量皆正交

问：说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与A的转置的列向量组中任一向量皆正交

答：对于齐次线性方程组Ax=0的基础解系中的任一向量v，它满足Av=0。我们知道，如果A的转置矩阵为At，那么At的第i列和A的第i行相同，即At的第i列就是A的第i个列向量。因此，我们可以写出以下式子：At(i) * v = (A的第i个列向量) * v = A[:,i].T * v = 0，其中A[:,i].T表示A的第i列向量的转置矩阵因此，基础解系中任一向量v与A的转置的列向量组中任一向量At(i)皆正交，即它们的点积为0。这是因为v是Ax=0的解，而At(i)是对应于Ax=0的齐次线性方程组Atx=0的解，因此它们的内积为0，即它们正交。这也是基础解系的一个重要性质。