Question

已知抛物线y=x²-2ax+a+1的顶点为A,另一点b的坐标为(2,8),若点B在抛物线上

Answer 1

问：已知抛物线y=x²-2ax+a+1的顶点为A,另一点b的坐标为(2,8),若点B在抛物线上

答：您好，亲！已知抛物线为 y=x^2-2ax+a+1y=x​2​​ −2ax+a+1，顶点为 AA，点 BB 的坐标为 (2,8)(2,8)，且 BB 在抛物线上。因为 AA 是抛物线的顶点，所以 AA 的横坐标为 aa，纵坐标为 A_y=a+1A​y​​ =a+1。因为 BB 在抛物线上，所以 BB 的坐标 (2,8)(2,8) 满足 8=2^2-2a\times2+a+18=2​2​​ −2a×2+a+1。将上式化简得 2a^2-2a-5=02a​2​​ −2a−5=0，解得 a=\frac{5}{2}a=​2​​5​​ 或 a=-1a=−1。

答：扩展：当 a=\frac{5}{2}a=​2​​5​​ 时，AA 的坐标为 (\frac{5}{2}, \frac{17}{2})(​2​​5​​ ,​2​​17​​ )，此时抛物线方程为 y=x^2-5x+8y=x​2​​ −5x+8。当 a=-1a=−1 时，AA 的坐标为 (-1, 0)(−1,0)，此时抛物线方程为 y=x^2+2x+2y=x​2​​ +2x+2。因为 BB 在抛物线上，所以 BB 的坐标必须满足抛物线方程，当 a=\frac{5}{2}a=​2​​5​​ 时，代入 BB 的坐标得到 8=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+88=​4​​25​​ −​2​​25​​ +8，显然不成立；当 a=-1a=−1 时，代入 BB 的坐标得到 8=4-4+28=4−4+2，成立。

答：因此，抛物线方程为 y=x^2+2x+2y=x​2​​ +2x+2，BB 点在抛物线上，a=-1a=−1。