Question

课堂测试:求A= 1 2 0 2 1 0 -2 2 3. 的特征值和特征向量

Answer 1

问：课堂测试:求A= 1 2 0 2 1 0 -2 2 3. 的特征值和特征向量

答：首先，将矩阵A表示为： A = | 1 2 0 | | 2 1 0 | | -2 2 3 | 接下来，求解特征值和特征向量。 特征值是使得下列方程成立的λ值： det(A-λI) = 0 其中，I是单位矩阵，det表示行列式。 将A-λI展开，得到： | (1-λ) 2 0 | | 2 (1-λ) 0 | | -2 2 (3-λ) | 计算行列式得到： (1-λ)[(1-λ)(3-λ)-4] - 2[2(3-λ)] + 0 = 0 化简得到： λ^3 - 5λ^2 + 4λ = 0 这是一个三次方程，可以因式分解为： λ(λ-1)(λ-4) = 0 因此，特征值是λ1 = 0，λ2 = 1，λ3 = 4。 接下来，对于每一个特征值，求解相应的特征向量。 特征向量满足下列方程： (A-λI)x = 0 其中，x是特征向量。 对于λ1 = 0，解方程得到： -1/2 x1 + x2 = 0 x1 - 1/2 x2 = 0 x3 = 0 解得特征向量为：x1 = 1, x2 = 2, x3 = 0 对于λ2 = 1，解方程得到： 0 x1 + 2x2 = 0 2x1 + 0 x2 = 0 -2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 解得特征向量为：x1 = 1, x2 = -1, x3 = 1 对于λ3 = 4，解方程得到： -3 x1 + 2x2 = 0 2x1 - 3 x2 = 0 -2x1 + 2x2 - x3 = 0 解得特征向量为：x1 = 2, x2 = 1, x3 = 4 因此，矩阵A的特征值是λ1 = 0，λ2 = 1，λ3 = 4，对应的特征向量分别为（1, 2, 0），（1, -1, 1），（2, 1, 4）。