(1-2t^3)*t^2/(1+t^3)^3dt不定积分
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亲亲~
您好哈~，很荣幸为您解答哟~。(1-2t^3)*t^2/(1+t^3)^3dt不定积分。回答如下：我们可以尝试将被积函数进行展开和简化，然后再求不定积分。首先，将分子展开：(1 - 2t^3) * t^2 = t^2 - 2t^5然后将分母展开：(1 + t^3)^3 = (1 + t^3) * (1 + t^3) * (1 + t^3) = (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9)现在被积函数可以写成：(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9)接下来，我们需要对上式进行分解为更简单的形式。我们可以尝试将分母分解为3个因式，并采用部分分式分解的方法。首先，将分母分解为3个因式：1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9 = (1 + t^3)^3现在，采用部分分式分解的方法，假设分解为以下形式：(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9) = A/(1 + t^3) + B/(1 + t^3)^2 + C/(1 + t^3)^3将分子与分母相乘并进行合并，得到：t^2 - 2t^5 = A*(1 + t^3)^2 + B*(1 + t^3) + C
您好哈~，很荣幸为您解答哟~。(1-2t^3)*t^2/(1+t^3)^3dt不定积分。回答如下：我们可以尝试将被积函数进行展开和简化，然后再求不定积分。首先，将分子展开：(1 - 2t^3) * t^2 = t^2 - 2t^5然后将分母展开：(1 + t^3)^3 = (1 + t^3) * (1 + t^3) * (1 + t^3) = (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9)现在被积函数可以写成：(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9)接下来，我们需要对上式进行分解为更简单的形式。我们可以尝试将分母分解为3个因式，并采用部分分式分解的方法。首先，将分母分解为3个因式：1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9 = (1 + t^3)^3现在，采用部分分式分解的方法，假设分解为以下形式：(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9) = A/(1 + t^3) + B/(1 + t^3)^2 + C/(1 + t^3)^3将分子与分母相乘并进行合并，得到：t^2 - 2t^5 = A*(1 + t^3)^2 + B*(1 + t^3) + C
咨询记录 · 回答于2023-07-03
(1-2t^3)*t^2/(1+t^3)^3dt不定积分
不定积分高次幂难题
亲亲~您好哈~，很荣幸为您解答哟~。(1-2t^3)*t^2/(1+t^3)^3dt不定积分。回答如下：我们可以尝试将被积函数进行展开和简化，然后再求不定积分。首先，将分子展开：(1 - 2t^3) * t^2 = t^2 - 2t^5然后将分母展开：(1 + t^3)^3 = (1 + t^3) * (1 + t^3) * (1 + t^3) = (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9)现在被积函数可以写成：(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9)接下来，我们需要对上式进行分解为更简单的形式。我们可以尝试将分母分解为3个因式，并采用部分分式分解的方法。首先，将分母分解为3个因式：1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9 = (1 + t^3)^3现在，采用部分分式分解的方法，假设分解为以下形式：(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9) = A/(1 + t^3) + B/(1 + t^3)^2 + C/(1 + t^3)^3将分子与分母相乘并进行合并，得到：t^2 - 2t^5 = A*(1 + t^3)^2 + B*(1 + t^3) + C
您好哈~，很荣幸为您解答哟~。(1-2t^3)*t^2/(1+t^3)^3dt不定积分。回答如下：我们可以尝试将被积函数进行展开和简化，然后再求不定积分。首先，将分子展开：(1 - 2t^3) * t^2 = t^2 - 2t^5然后将分母展开：(1 + t^3)^3 = (1 + t^3) * (1 + t^3) * (1 + t^3) = (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9)现在被积函数可以写成：(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9)接下来，我们需要对上式进行分解为更简单的形式。我们可以尝试将分母分解为3个因式，并采用部分分式分解的方法。首先，将分母分解为3个因式：1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9 = (1 + t^3)^3现在，采用部分分式分解的方法，假设分解为以下形式：(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9) = A/(1 + t^3) + B/(1 + t^3)^2 + C/(1 + t^3)^3将分子与分母相乘并进行合并，得到：t^2 - 2t^5 = A*(1 + t^3)^2 + B*(1 + t^3) + C
求积分的具体步骤
现在，采用部分分式分解的方法，假设分解为以下形式：(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9) = A/(1 + t^3) + B/(1 + t^3)^2 + C/(1 + t^3)^3将分子与分母相乘并进行合并，得到：t^2 - 2t^5 = A*(1 + t^3)^2 + B*(1 + t^3) + C接下来，我们需要解方程组来求出A、B和C的值。将t^2的系数、t^5的系数和常数项分别对应起来：t^2的系数： 0 = A + Bt^5的系数： -2 = A常数项： 0 = C由上述方程组解得：A = -2，B = 2，C = 0现在我们可以得到原始函数的分解形式：(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9) = -2/(1 + t^3) + 2/(1 + t^3)^2现在，我们需要对分解后的两个分式分别求积分：∫(-2/(1 + t^3)) dt 和 ∫(2/(1 + t^3)^2) dt第一个积分可以用代换法解，令u = 1 + t^3，从而 du = 3t^2 dt：∫(-2/(1 + t^3)) dt = ∫(-2/u) * (1/3) du = (-2/3) ∫(1/u) du = (-2/3) ln|u| + C1第二个积分可以用代换法解，令v = 1 + t^3，从而 dv = 3t^2 dt：∫(2/(1 + t^3)^2) dt = ∫(2/v^2) dv = -2/v + C2将上述结果合并起来，得到最终的不定积分：∫(t^2 - 2t^5) / (1 + 3t^3 + 3t^6 + t^9) dt = (-2/3) ln|1 + t^3| - 2/(1 + t^3) + C其中C为积分常数。
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