Question

6.已知数列{an}满足+an+a(n+1)=2^n(nN)+,则{an}的前4n项和+S出=

Answer 1

问：6.已知数列{an}满足+an+a(n+1)=2^n(nN)+,则{an}的前4n项和+S出=

答：已知数列 {an} 满足 an + a(n+1) = 2^n，我们需要求解数列 {an} 的前 4n 项和 S。首先，我们将方程分别用 n 替换为 n-1、n、n+1、... 来找到数列 {an} 的递推关系。当 n = n-1 时，我们有：a(n-1) + a(n) = 2^(n-1)当 n = n 时，我们有：an + a(n+1) = 2^n当 n = n+1 时，我们有：a(n+1) + a(n+2) = 2^(n+1)接下来，我们将求和进行到 4n 项。将方程组加总，并观察可消去的项：a1 + a2 = 2^1a2 + a3 = 2^2...a(n-1) + an = 2^(n-1)an + a(n+1) = 2^na(n+1) + a(n+2) = 2^(n+1)...a(4n-1) + a(4n) = 2^(4n-1)通过观察我们可以发现，在求和的过程中，很多项都可以相互抵消。最终，我们只需要计算剩余的项：S = a1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) + 2^n + 2^(n+1) + ... + 2^(4n-1)这是一个等比数列求和问题。我们可以使用等比数列求和公式来求解 S：S = a1 + (1 - 2^n) / (1 - 2) + (2^n - 2^(4n)) / (1 - 2)S = a1 + 2^n - 1 + 2^(4n) - 2^nS = a1 - 1 + 2^(4n) - 2^n这就是数列 {an} 的前 4n 项和 S 的解。