3.用正交变换法把二次型+f(x1,x2)=x1^2+x2^2-4x1x2+化为标准形,并求所作的正+
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亲，答案如下：
首先，我们需要写出这个二次型的矩阵形式：
A = [ 1 -2 ]
[-2 1]
现在我们需要进行正交变换将这个矩阵对角化。假设这个变换矩阵为 P，那么根据正交对角化定理，我们有：
P^T A P = D
其中，D是一个对角矩阵。
因此，我们需要解决两个问题：求解变换矩阵 P，和确定对角矩阵 D 中的元素。
首先，我们需要求出 D 中的元素。根据矩阵 A 的特征值公式，特征多项式为：
det(λI - A) = (λ - 3)(λ + 1)
因此，特征值为 λ1 = 3， λ2 = -1。
现在我们需要求解每个特征值对应的特征向量：
当 λ1 = 3 时，我们需要求解：(3I - A)X = 0。解出来的特征向量为 X1=[1,1]^T。
当 λ2 = -1 时，我们需要求解：(-I - A)X = 0。解出来的特征向量为 X2=[1,-1]^T。
现在我们已经求得了对角矩阵中的元素和对应的特征向量，我们可以将特征向量标准化得到正交基：
Q = [X1/||X1||, X2/||X2||]
其中，||X1|| 表示向量 X1 的模长。
现在我们可以构造变换矩阵 P 了：
P = [X1/||X1||, X2/||X2||][I 0]^T
= [1/√2 1/√2, 1/√2 -1/√2]
因此，这个二次型经过正交变换 x = Py，可以化为标准形：Q(x) = 3y1^2 - y2^2其中，Q(x) = f(x1,x2) + x1^2 + x2^2。
咨询记录 · 回答于2023-12-23
3.用正交变换法把二次型+f(x1,x2)=x1^2+x2^2-4x1x2+化为标准形,并求所作的正+
3.用正交变换法把二次型+f(x1,x2)=x1^2+x2^2-4x1x2+化为标准形,并求所作的正交变换
亲~答案如下：
首先，我们需要写出这个二次型的矩阵形式：
A = [ 1 -2 ]
[-2 1]
现在我们需要进行正交变换将这个矩阵对角化。假设这个变换矩阵为 P, 那么根据正交对角化定理，我们有：
P^T A P = D
其中，D是一个对角矩阵。因此，我们需要解决两个问题：求解变换矩阵 P，和确定对角矩阵 D 中的元素。
首先，我们需要求出 D 中的元素。根据矩阵 A 的特征值公式，特征多项式为：
det(λI - A) = (λ - 3)(λ + 1)
因此，特征值为 λ1 = 3， λ2 = -1。
现在我们需要求解每个特征值对应的特征向量：
当 λ1 = 3 时，我们需要求解：(3I - A)X = 0。解出来的特征向量为 X1=[1,1]^T。
当 λ2 = -1 时，我们需要求解：(-I - A)X = 0。解出来的特征向量为 X2=[1,-1]^T。
现在我们已经求得了对角矩阵中的元素和对应的特征向量，我们可以将特征向量标准化得到正交基：
Q = [X1/||X1||, X2/||X2||]
其中，||X1|| 表示向量 X1 的模长。
现在我们可以构造变换矩阵 P 了：
P = [X1/||X1||, X2/||X2||][I 0]^T = [1/√2 1/√2, 1/√2 -1/√2]
因此，这个二次型经过正交变换 x = Py，可以化为标准形：Q(x) = 3y1^2 - y2^2
其中，Q(x) = f(x1,x2) + x1^2 + x2^2。
A什么啊
亲亲~因为有点符号没法编辑发送给你，所以我把解答内容用图片发给你
亲亲你看你这边有没有收到呢
亲~您这边是要我做第2题嘛
亲~
f(x1, x2, x3) = x1^2 + 3x2^2 + 3x3^2 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
= (1/√2)y1^2 + (2/√6)y2^2 + (5/√6)y3^2
其中，y1、y2和y3为P^-1x的分量。
因此，可通过变量替换的方法得到线性变换：
y1 = (1/√2)(x1 - x2)
y2 = (1/√6)(-x1 + x2 + 2x3)
y3 = (1/√6)(x1 + x2 + 2x3)
其逆变换为：
x1 = (1/√2)(y1 - y2 + y3)
x2 = (1/√2)(y1 + y2 - y3)
x3 = (1/√6)(-y1 + y2 + 2y3)
因此，可得到线性变换矩阵P和P^-1：
P = | 1/√2 -1/√6 1/√6 | | -1/√2 1/√6 1/√6 | | 0 2/√6 2/√6 |
P^-1 = | 1/√2 -1/√2 0 | | -1/√6 1/√6 2/√6 | | 1/√6 1/√6 2/√6 |
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