12.已知函数 f(x)=Asin(x+\varphi)(A>0
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您好，已知函数f(x)=Asin(x+\varphi)(A>0函数f(x)的表达式是f(x)=2\sin(x-\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{2})=-2\sinx.
求该函数的表达式。
解法一：根据已知条件，得到两个方程：
Asin(π/2+\varphi)=2
Asin(3π/2+\varphi)=-2
将这两个方程相加或相减，可以消去\varphi，得到一个只含未知数A的方程：
Asin(π/2+\varphi)+Asin(3π/2+\varphi)=0
2Asin(\varphi+π)cos(\varphi+π/2)=0
由于A>0，所以要使上式成立，必须满足sin(\varphi+π)=0
即\varphi=-π/2+kπ(k∈Z)
将\varphi的值代入任一方程，可以解出A：
当\varphi=-π/2+kπ(k∈Z)时，A=2/sin(π/2+\varphi)=(-1)^{k+1}2
综上所述，函数f(x)的表达式是f(x)=(-1)^{k+1}2\sin(x-π/2+kπ)(k∈Z)其中，k取奇数时的函数图像经过点(π/2,2)和(3π/2,-2)，k取偶数时的函数图像也经过这两个点，但与k取奇数时的图像上下反转。
解法二：因为函数f(x)=Asin(x+\varphi)的图像在x轴上有最大值和最小值，所以，在[π/2,3π/2]内，\varphi使得sin(x+\varphi)从1减到-1。即
\begin{aligned}
x+\varphi&=\frac{\pi}{2}+n\pi,\,\,\,n=0,1,2,\dots,\\
x+\varphi&=\frac{3\pi}{2}+n\pi,\,\,\,n=0,1,2,\dots,
\end{aligned}
解得\varphi=-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},A=\frac{2}{\sin(\pi/2-\varphi)}=2因此，函数f(x)的表达式是f(x)=2\sin(x-\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{2})=-2\sinx.
咨询记录 · 回答于2023-12-30
12.已知函数 f(x)=Asin(x+\varphi)(A>0
您好，已知函数f(x)=Asin(x+\varphi)(A>0函数f(x)的表达式是f(x)=2\sin(x-\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{2})=-2\sinx.
求该函数的表达式。
解法一：根据已知条件，得到两个方程：
Asin(π/2+\varphi)=2
Asin(3π/2+\varphi)=-2
将这两个方程相加或相减，可以消去\varphi，得到一个只含未知数A的方程：
Asin(π/2+\varphi)+Asin(3π/2+\varphi)=0
2Asin(\varphi+π)cos(\varphi+π/2)=0
由于A>0，所以要使上式成立，必须满足sin(\varphi+π)=0
即\varphi=-π/2+kπ(k∈Z)
将\varphi的值代入任一方程，可以解出A：
当\varphi=-π/2+kπ(k∈Z)时，A=2/sin(π/2+\varphi)=(-1)^{k+1}2
综上所述，函数f(x)的表达式是f(x)=(-1)^{k+1}2\sin(x-π/2+kπ)(k∈Z)其中，k取奇数时的函数图像经过点(π/2,2)和(3π/2,-2)，k取偶数时的函数图像也经过这两个点，但与k取奇数时的图像上下反转。
解法二：因为函数f(x)=Asin(x+\varphi)的图像在x轴上有最大值和最小值，所以，在[π/2,3π/2]内，\varphi使得sin(x+\varphi)从1减到-1。即
\begin{aligned}
x+\varphi&=\frac{\pi}{2}+n\pi,\,\,\,n=0,1,2,\dots, \\
x+\varphi&=\frac{3\pi}{2}+n\pi,\,\,\,n=0,1,2,\dots,
\end{aligned}
解得\varphi=-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},A=\frac{2}{\sin(\pi/2-\varphi)}=2因此，函数f(x)的表达式是f(x)=2\sin(x-\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{2})=-2\sinx.
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