Question

7.已知 sinα,sin(α+π/3), 1成等差数列,求cos2α的值.

Answer 1

问：7.已知 sinα,sin(α+π/3), 1成等差数列,求cos2α的值.

问：好撒。

答：根据已知条件，我们可以得到以下等式：sin(α+π/3) = 2sinαcos(π/6) + cosαsin(π/6) = √3sinα/2 + cosα/2由于1成等差数列，我们可以得到以下等式：sinα + sin(α+π/3) = 2sin(α+π/6)cos(π/6) = 2(√3sin(α+π/6)/2)cos(π/6) = √3sin(α+π/6)即有 sinα + √3sinα/2 + cosα/2 = √3sin(α+π/6)整理得：2sinα + √3sinα + cosα = 2√3sin(α+π/6)再根据三角恒等式 sin2θ = 2sinθcosθ，我们可以得到：2sinα + √3sinα + cosα = 2√3sin(α+π/6)2sinα + √3sinα + cosα = 2√3sinαcos(π/6) + 2√3cosαsin(π/6)2sinα + √3sinα + cosα = √3sinα + 2cosα√3sinα + 2cosα = 2sinα + cosα√3sinα - sinα = 2cosα - 2cosα√3sinα - sinα = 0(√3-1)sinα = 0因此，要使等式成立，我们有两个解：1) (√3-1)sinα = 0 sinα = 0 α = kπ, 其中k为整数2) (√3-1)sinα = 0 √3-1 ≠ 0 sinα = 0 α = kπ + π/2, 其中k为整数接下来，我们分别对两种情况进行计算：1) 当 sinα = 0 时，cos2α的值为 cos(2*0) = cos(0) = 12) 当 sinα = 0 时，cos2α的值为 cos(2*(kπ+π/2)) = cos((2k+1)π) = (-1)^(2k+1) = -1, 其中k为整数综上所述，cos2α的值可能为1或-1。