Question

证明若向量组有不止一个极大线性无关组是，不同线性无关组中的向量个数一样多

Answer 1

问：证明若向量组有不止一个极大线性无关组是，不同线性无关组中的向量个数一样多

答：假设一个向量组 A 有两个极大线性无关组 B 和 C，其中 B 包含 m 个向量，C 包含 n 个向量。由于 B 是极大线性无关组，所以 A 中所有向量都可以表示为 B 的线性组合。设向量组 B 为 {b1, b2, ..., bm}，则向量组 A 可以表示为：A = span{b1, b2, ..., bm, v1, v2, ..., vk}其中 v1, v2, ..., vk 是不属于向量组 B 的向量。又因为 C 也是极大线性无关组，所以向量组 A 中所有的向量也可以表示为 C 的线性组合。设向量组 C 为 {c1, c2, ..., cn}，则向量组 A 可以表示为：A = span{c1, c2, ..., cn, u1, u2, ..., ul}其中 u1, u2, ..., ul 是不属于向量组 C 的向量。由于 B 是极大线性无关组，所以 B 任何一组向量的线性组合都不可能表示为向量组 A 中剩余的向量的线性组合。由此可得：{v1, v2, ..., vk} ⊈ span{c1, c2, ..., cn}

答：因此，向量组 C 中至少有一个向量不在 span{v1, v2, ..., vk} 中。不妨设为 c1，那么 c1 一定可以表示为向量组 B 的线性组合：c1 = a1b1 + a2b2 + ... + ambm其中 a1, a2, ..., am 不全为零，否则向量组 B 就不是线性无关的了。将 c1 代入 A 可得：c1 = a1b1 + a2b2 + ... + ambm + w1v1 + w2v2 + ... + wkvk这意味着 {b1, b2, ..., bm, v1, v2, ..., vk} 不是 A 的线性无关组，否则 c1 不可能被表示成它们的线性组合。由此推出：{c1, v1, v2, ..., vk} 不是 A 的线性无关组，否则 c1 不可能被表示成它们的线性组合。这意味着 {c1, c2, ..., cn} 不是 A 的极大线性无关组，因为添加 v1, v2, ..., vk 后构成的向量组仍然是线性无关的。这与 C 是 A 的极大线性无关组矛盾。因此，不同的极大线性无关组中的向量个数是一样多的。证毕。