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摘要 (1) Yy'' + 2y' - 3y = 0首先，我们要求出微分方程的特征方程：r^2 + 2r - 3 = 0解出r可得：r1 = -3, r2 = 1因此，通解为：y = c1e^(-3x) + c2e^(x)(2) y'' + 2y = 0同样地，我们求出微分方程的特征方程：r^2 + 2 = 0解出r可得：r1 = i√2, r2 = -i√2因此，通解为：y = c1cos(√2x) + c2sin(√2x)(3) y'' + 2y' + y = 0求出微分方程的特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0解出r可得：r1 = -1, r2 = -1由于特征根相等，因此通解为：y = (c1 + c2x)e^(-x)(4) y'' + 4y' = 0求出微分方程的特征方程：r^2 + 4r = 0解出r可得：r1 = 0, r2 = -4因此，通解为：y = c1 + c2e^(-4x)(5) yy'' - 4y' + 4y = 0首先，我们将微分方程化为标准形式，即：y'' - 4/y' + 4/y = 0接着，我们令y' = p，将微分方程转化为：pdp/dy - 4p + 4y = 0将上式移项可得：dp/dy = (4p - 4y)/p接着，我们分离变量得到：pdp/(4p - 4y) = dy将上式积分可得：1/4 ln|4p - 4y| = y + C代入p = y'可得：ln|y' - y| = 4y + C解出y'可得：y' = y + Ce^(-4y)将上式代入原微分方程可得：y(y + Ce^(-4y))'' - 4(y + Ce^(-4y))' + 4y = 0化简可得：y'' + 2y' + Ce^(-4y)y = 0由于我们无法对这个微分方程求出解析解，因此通解为：y = f(x, c1, c2)

咨询记录 · 回答于2023-05-06

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(1) Yy'' + 2y' - 3y = 0首先，我们要求出微分方程的特征方程：r^2 + 2r - 3 = 0解出r可得：r1 = -3, r2 = 1因此，通解为：y = c1e^(-3x) + c2e^(x)(2) y'' + 2y = 0同样地，我们求出微分方程的特征方程：r^2 + 2 = 0解出r可得：r1 = i√2, r2 = -i√2因此，通解为：y = c1cos(√2x) + c2sin(√2x)(3) y'' + 2y' + y = 0求出微分方程的特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0解出r可得：r1 = -1, r2 = -1由于特征根相等，因此通解为：y = (c1 + c2x)e^(-x)(4) y'' + 4y' = 0求出微分方程的特征方程：r^2 + 4r = 0解出r可得：r1 = 0, r2 = -4因此，通解为：y = c1 + c2e^(-4x)(5) yy'' - 4y' + 4y = 0首先，我们将微分方程化为标准形式，即：y'' - 4/y' + 4/y = 0接着，我们令y' = p，将微分方程转化为：pdp/dy - 4p + 4y = 0将上式移项可得：dp/dy = (4p - 4y)/p接着，我们分离变量得到：pdp/(4p - 4y) = dy将上式积分可得：1/4 ln|4p - 4y| = y + C代入p = y'可得：ln|y' - y| = 4y + C解出y'可得：y' = y + Ce^(-4y)将上式代入原微分方程可得：y(y + Ce^(-4y))'' - 4(y + Ce^(-4y))' + 4y = 0化简可得：y'' + 2y' + Ce^(-4y)y = 0由于我们无法对这个微分方程求出解析解，因此通解为：y = f(x, c1, c2)

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