30.设是n维欧氏空间V的一个对称变换,证明:-|||-(1)ker()和Im( )都是的不变子
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为了证明该命题，我们需要首先理解对称变换和不变子空间的概念。对称变换：一个线性变换 T: V \rightarrow VT:V→V，如果满足对于 \forall u,v \in V∀u,v∈V 都有内积 (Tu, Tv) = (u,v)(Tu,Tv)=(u,v)，则它被称为对称变换。其中内积是指 VV 中的欧几里得内积。不变子空间：给定一个线性变换 T: V \rightarrow VT:V→V，如果对于 VV 的某个子集 W \subseteq VW⊆V，通过 TT 作用在 WW 上得到的向量仍然属于 WW，即 T(W) \subseteq WT(W)⊆W，那么我们称 WW 为 TT 的不变子空间。现在回到原命题:要证明 ker(T)ker(T) 和 Im(T)Im(T) 是 TT 的不变子空间，我们需要证明：对于任意 w \in ker(T)w∈ker(T)，都有 T(w) \in ker(T)T(w)∈ker(T)。对于任意 v \in Im(T)v∈Im(T)，都有 T(v) \in Im(T)T(v)∈Im(T)。
为了证明该命题，我们需要首先理解对称变换和不变子空间的概念。对称变换：一个线性变换 T: V \rightarrow VT:V→V，如果满足对于 \forall u,v \in V∀u,v∈V 都有内积 (Tu, Tv) = (u,v)(Tu,Tv)=(u,v)，则它被称为对称变换。其中内积是指 VV 中的欧几里得内积。不变子空间：给定一个线性变换 T: V \rightarrow VT:V→V，如果对于 VV 的某个子集 W \subseteq VW⊆V，通过 TT 作用在 WW 上得到的向量仍然属于 WW，即 T(W) \subseteq WT(W)⊆W，那么我们称 WW 为 TT 的不变子空间。现在回到原命题:要证明 ker(T)ker(T) 和 Im(T)Im(T) 是 TT 的不变子空间，我们需要证明：对于任意 w \in ker(T)w∈ker(T)，都有 T(w) \in ker(T)T(w)∈ker(T)。对于任意 v \in Im(T)v∈Im(T)，都有 T(v) \in Im(T)T(v)∈Im(T)。
咨询记录 · 回答于2023-06-27
30.设是n维欧氏空间V的一个对称变换,证明:-|||-(1)ker()和Im( )都是的不变子
您好，很高兴为您解答为了证明该命题，我们需要首先理解对称变换和不变子空间的概念。对称变换：一个线性变换 T: V \rightarrow VT:V→V，如果满足对于 \forall u,v \in V∀u,v∈V 都有内积 (Tu, Tv) = (u,v)(Tu,Tv)=(u,v)，则它被称为对称变换。其中内积是指 VV 中的欧几里得内积。不变子空间：给定一个线性变换 T: V \rightarrow VT:V→V，如果对于 VV 的某个子集 W \subseteq VW⊆V，通过 TT 作用在 WW 上得到的向量仍然属于 WW，即 T(W) \subseteq WT(W)⊆W，那么我们称 WW 为 TT 的不变子空间。现在回到原命题:要证明 ker(T)ker(T) 和 Im(T)Im(T) 是 TT 的不变子空间，我们需要证明：对于任意 w \in ker(T)w∈ker(T)，都有 T(w) \in ker(T)T(w)∈ker(T)。对于任意 v \in Im(T)v∈Im(T)，都有 T(v) \in Im(T)T(v)∈Im(T)。
为了证明该命题，我们需要首先理解对称变换和不变子空间的概念。对称变换：一个线性变换 T: V \rightarrow VT:V→V，如果满足对于 \forall u,v \in V∀u,v∈V 都有内积 (Tu, Tv) = (u,v)(Tu,Tv)=(u,v)，则它被称为对称变换。其中内积是指 VV 中的欧几里得内积。不变子空间：给定一个线性变换 T: V \rightarrow VT:V→V，如果对于 VV 的某个子集 W \subseteq VW⊆V，通过 TT 作用在 WW 上得到的向量仍然属于 WW，即 T(W) \subseteq WT(W)⊆W，那么我们称 WW 为 TT 的不变子空间。现在回到原命题:要证明 ker(T)ker(T) 和 Im(T)Im(T) 是 TT 的不变子空间，我们需要证明：对于任意 w \in ker(T)w∈ker(T)，都有 T(w) \in ker(T)T(w)∈ker(T)。对于任意 v \in Im(T)v∈Im(T)，都有 T(v) \in Im(T)T(v)∈Im(T)。
证明如下：由于 TT 是对称变换，因此 TT 满足 (Tu, Tv) = (u,v)(Tu,Tv)=(u,v)。因此对于任意 w_1, w_2 \in ker(T)w 1 ,w 2 ∈ker(T)，有 (Tw_1, Tw_2) = (w_1,w_2) = 0(Tw 1 ,Tw 2 )=(w 1 ,w 2 )=0。因此 Tw_1Tw 1 与 Tw_2Tw 2 线性无关。另外，对于任意标量 \alphaα 和向量 w \in ker(T)w∈ker(T)，有 (T(\alpha w), w) = (\alpha w, w) = \alpha(w,w) = 0(T(αw),w)=(αw,w)=α(w,w)=0，因此 \alpha w \in ker(T)αw∈ker(T)。综上所述，ker(T)ker(T) 是 TT 的不变子空间。接下来考虑 Im(T)Im(T)。对于任意 v \in Im(T)v∈Im(T)，都可以表示为 T(u)T(u) 的形式，其中 u \in Vu∈V。由于 TT 是线性变换，因此 T(T(
您好，很高兴为您解答首先，我们需要明确线性变换的对称性的定义。定义：设V是n维欧氏空间，T：V→V是一个线性变换。如果对于任意的向量u,v∈V，都有 = ，则称T是一个对称变换。证明：首先证明ker(T)是T的不变子空间。设u属于ker(T)，即Tu = 0。那么对于任意的向量v∈V，有 = = 0。根据对称变换的定义， = 0。因此Tu也属于ker(T)，即ker(T)是T的不变子空间。然后证明Im(T)是T的不变子空间。设v属于Im(T)，即存在某个向量u∈V，使得v = Tu。那么对于任意的向量w∈V，有 = = 。根据对称变换的定义， = 。因此Tv也属于Im(T)，即Im(T)是T的不变子空间。综上所述，我们证明了ker(T)和Im(T)都是T的不变子空间。
首先，我们需要明确线性变换的对称性的定义。定义：设V是n维欧氏空间，T：V→V是一个线性变换。如果对于任意的向量u,v∈V，都有 = ，则称T是一个对称变换。证明：首先证明ker(T)是T的不变子空间。设u属于ker(T)，即Tu = 0。那么对于任意的向量v∈V，有 = = 0。根据对称变换的定义， = 0。因此Tu也属于ker(T)，即ker(T)是T的不变子空间。然后证明Im(T)是T的不变子空间。设v属于Im(T)，即存在某个向量u∈V，使得v = Tu。那么对于任意的向量w∈V，有 = = 。根据对称变换的定义， = 。因此Tv也属于Im(T)，即Im(T)是T的不变子空间。综上所述，我们证明了ker(T)和Im(T)都是T的不变子空间。
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首先证明ker(σ)是σ的不变子空间：对于任意的u∈ker(σ)，有σ(u)=O，即σ(u)是零向量。对于任意的v∈V，有σ(σ(v))=v，即σ(v)是σ的像，也是V的向量。因此，对于任意的u∈ker(σ)，有σ(σ(u))=u，即u是σ的像，也是V的向量。综上所述，ker(σ)是σ的不变子空间。接下来证明im(σ)是σ的不变子空间：对于任意的u∈im(σ)，存在v∈V，使得u=σ(v)。对于任意的w∈V，有σ(σ(w))=w，即σ(w)是σ的像，也是V的向量。因此，对于任意的u=σ(v)∈im(σ)，有σ(σ(v))=σ(u)=σ(σ(w))。综上所述，im(σ)是σ的不变子空间。其次证明Im(σ)是ker(σ)的正交补：对于任意的u∈Im(σ)，存在v∈V，使得u=σ(v)。对于任意的w∈ker(σ)，有σ(w)=O，即σ(w)是零向量。因此，对于任意的u=σ(v)∈Im(σ)，有u·w=(σ(v))·w=v·(σ(w))=v·O=0。综上所述，Im(σ)是ker(σ)的正交补。
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