大学数学题详解
1个回答
关注
![]()
展开全部
使用分部积分法计算该定积分，需要对 $x-lnx$ 这个函数求导，得到
$\frac{d}{dx}[xlnx] = lnx + 1$
所以可以将原积分拆分为
$\int_1^e{xlnx}dx = \int_1^elnxdx+\int_1^exdx$
首先求第一个积分
$\int_1^elnxdx = [xlnx-x]_1^e=e+ln(e)-1-1=e+ln(e) - 2$
接下来求第二个积分
$\int_1^exdx = [\frac{x^2}{2}]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}$
最后，将两个积分相加得到原定积分在区间(1,e)上的值
$\int_1^e{xlnx}dx = e+ln(e)-2+\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} = e+ln(e)+\frac{e^2}{2} - \frac{3}{2}$
咨询记录 · 回答于2023-12-29
大学数学题详解
具体什么问题呢亲＾3＾
帮我解答一下这两道题谢谢，并给一点解题思路
第一题如下：
设 $u = -3x$，则 $\frac{du}{dx} = -3$，$dx = \frac{du}{-3}$。
将其代入原式得：$\int \sin(-3x) dx = \int \sin(u) \times \left( -\frac{1}{3} \right) du = -\frac{1}{3} \int \sin(u) du = -\frac{1}{3} \left[ -\cos(u) \right] + C$。
再将 $u = -3x$ 代回，得到：$\int \sin(-3x) dx = \frac{1}{3} \cos(3x) + C$。
在区间 $(0, \frac{\pi}{2})$ 中，原式的值为：$\frac{1}{3} \cos(0) - \frac{1}{3} \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{1}{3}$。
第二题呢
使用分部积分法计算该定积分，需要对 $x - \ln x$ 这个函数求导，得到
$\frac{d}{dx}[xlnx] = lnx + 1$
所以可以将原积分拆分为
$\int_1^e{xlnx}dx = \int_1^e lnx dx + \int_1^e x dx$
首先求第一个积分
$\int_1^e lnx dx = [xlnx - x]_1^e = e + ln(e) - 1 - 1 = e + ln(e) - 2$
接下来求第二个积分
$\int_1^e x dx = [\frac{x^2}{2}]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}$
最后，将两个积分相加得到原定积分在区间(1,e)上的值
$\int_1^e{xlnx}dx = e + ln(e) - 2 + \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} = e + ln(e) + \frac{e^2}{2} - \frac{3}{2}$
最后结果是e
利用分部积分公式，可以将积分式子转化为：
∫xlnxdx = 1/2x^2lnx-∫1/2x^2(1/x)dx
= 1/2x^2lnx-1/2∫xdx
= 1/2x^2lnx-1/4x^2
将上下限代入得到：
∫1^e xlnxdx = [1/2x^2lnx-1/4x^2]1^e
将上下限代入得到：[1/2e^2ln(e)-1/4e^2]-[1/2ln(1)-1/4]
= 1/4(1-e^2)
好的
du/(-3)那个在上面啊
是的
步骤没有问题哦亲，那个是换元带入
已赞过
评论
收起
你对这个回答的评价是？
