Question

x+2y=3,求4/x+3/y的最小值x、y∈R

Answer 1

问：x+2y=3,求4/x+3/y的最小值x、y∈R

答：亲，您好，很高兴为你解答问题：x+2y=3,求4/x+3/y的最小值x、y∈R答，你好，依据给定的条件，我们需要求解表达式4/x + 3/y 的最小值，其中 x 和 y 是实数。首先，我们可以将表达式化简为 (4y + 3x) / (xy)。要找到最小值，我们可以使用不等式或者导数来求解。由于这里只有两个变量，我们可以使用不等式方法。依据调和平均数不等式，对于任意正数 a 和 b，有 2/(1/a + 1/b) >= √(ab)。将此不等式应用于我们的表达式中，即可得到：2 / (1/(4y) + 1/(3x)) >= √((4y)(3x))2 / ((3x + 4y) / (12xy)) >= √(12xy)24xy >= √(12xy) * (3x + 4y)接下来，我们可以对不等式两边同时平方，消去根号：(24xy)^2 >= (12xy) * (3x + 4y)^2576x^2y^2 >= 144xy * (3x + 4y)^24x^2y^2 >= xy * (3x + 4y)^2进一步化简，得到：4x^2y^2 - xy * (3x + 4y)^2 >= 0这是一个关于 x 和 y 的二次函数不等式。我们可以通过求解该不等式的判别式来确定其取值范围。判别式为 Δ = 12y^2 (16y^2 - 3x^2)。由于 y^2 >= 0，所以 Δ >= 0。这意味着不等式对任意的 x 和 y 都成立。所以，我们可以得出结论：4/x + 3/y 的最小值为 0，且当且仅当 x 和 y 不同时为 0 时取得最小值。希望对您有帮助

答：扩展补充：1. 在求解过程中，我们使用了调和平均数不等式，这是一种常用的数学不等式，适用于多个变量的情况。2. 我们通过求解二次函数不等式的判别式来确定其取值范围，这是一种常见的方法，在解决实际问题中经常会遇到。3. 注意到在原始问题中，除数不能为 0，所以我们排除了 x 和 y 同时为 0 的情况。4. 如果题目给定了更多的限制条件，通常需要考虑其他方法来求解最小值。

问：1/x+3/y=3，x、y∈R，求（2x+3y）min

答：您好！依据给定的等式1/x + 3/y = 3，我们需要求解使得（2x+3y）取得最小值的x和y的值。首先，我们可以将等式转化为标准形式，消去分母。将等式两边同时乘以xy，得到xy/x + 3xy/y = 3xy。化简得到y + 3x = 3xy。接下来，我们可以对目标函数进行变量替换。令u = 2x + 3y，即目标函数为u。通过求导数的方法，我们可以得到关于x和y的方程组：2 - 3y' = 0 和 3 - 3x' = 0，其中y'和x'分别表示y和x对u的一阶导数。解这个方程组得到x' = 1 和 y' = 2/3。由于导数的存在性，我们可以得出当x' = 1 和 y' = 2/3时，目标函数u取得最小值。所以，（2x+3y）的最小值为21 + 3(2/3) = 4。

问：已知x+2y=3xy，x、y∈R，求（3x+4y）min

答：你好，您好[给您小心心]，依据已知条件x+2y=3xy，我们可以将其转化为关于x的方程式。将方程两边同时除以xy得到 1/x + 2/y = 3。现在我们需要找到（3x+4y）的最小值。可以利用均值不等式来解决这个问题。依据均值不等式，对于任意正实数a和b，有 (a+b)/2 >= √(ab)。所以，我们可以将(3x+4y)拆分为两项，即(2x+2y)和(x+2y)。首先，对于(2x+2y)，我们可以使用均值不等式得到 (2x+2y)/2 >= √(2x*2y)。简化后得到 x+y >= 2√xy。然后，对于(x+2y)，我们已经知道它等于3xy。所以，我们可以将其替换为3xy，并得到 3xy >= 2√xy。综上所述，我们可以得出结论：(3x+4y)的最小值为2√xy。

问：y=1/x+2/1-x，10

答：你好。您好[给您小心心]，依据提供的函数y=1/x+2/(1-x)，我们需要求在10

答：您好[给您小心心]，积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的反导数或计算曲线下的面积。在进行积分时，可以使用不同的方法和技巧，下面我将介绍两种常见的积分方法：1. 不定积分（indefinite integral）：不定积分用于求解函数的原函数。对于一个函数f(x)，它的不定积分可以表示为∫f(x)dx，其中∫表示积分符号，f(x)为被积函数，dx表示积分变量。常见的积分公式、性质和基本积分表可以用来求解不定积分。比如，对于多项式函数、三角函数、指数函数等，有相应的积分公式可供参考。2. 定积分（definite integral）：定积分用于计算曲线下的面积或求解区间上函数的平均值。对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为∫(a to b)f(x)dx，其中a和b为积分区间的上下限。求解定积分时，可以使用牛顿-莱布尼兹公式、换元法、分部积分等积分技巧。通过将区间划分为无穷小的小短线段，并计算每个小短线段下的面积，最后将这些面积相加，即可得到定积分的结果。

问：x>O，y>O，X+2y+2xy=8，求（x+2y）min

答：您好[给您小心心]，依据给出的方程X+2y+2xy=8，我们需要求解（x+2y）的最小值。首先，我们可以将方程化简为：x(1+2y)+2y=8，进一步化简为：x+2xy+2y=8，再进一步整理得到：x(1+2y)=8-2y，再除以(1+2y)得到：x=(8-2y)/(1+2y)。要求（x+2y）的最小值，可以通过对x进行求导并令导数等于0来求解。对上述方程两边同时求导，得到：dx/dy=-2(8-2y)/(1+2y)^2。令dx/dy=0，解得y=4/3。将y=4/3代入x=(8-2y)/(1+2y)，可以计算得到x=8/5。所以，当y=4/3时，（x+2y）取得最小值，最小值为(8/5)+(2*(4/3))=32/15。

问：x、y∈R，x+4y十5一xy=o，求（x+2y）min

答：您好！依据给出的条件，我们要求使得(x+2y)的值最小化。首先，我们可以将题目中的等式x+4y=5和xy=0进行联立求解。从第一个等式x+4y=5中解出x，得到x=5-4y。将此结果代入第二个等式xy=0中，得到(5-4y)y=0。由于乘积为零，所以有两种情况：y=0或者5-4y=0。1. 当y=0时，代入x=5-4y中，得到x=5-40=5。所以，此时x+2y=5+20=5。2. 当5-4y=0时，解出y，得到y=5/4。将此结果代入x=5-4y中，得到x=5-4*(5/4)=0。所以，此时x+2y=0+2*(5/4)=5/2。综上所述，当y=0时，(x+2y)取得最小值5；当y=5/4时，(x+2y)取得最小值5/2。

问：x、y∈R，x+3y=5xy，当3x+4y取得最小值y（x+2y）的值

答：您好[给您小心心]。依据给定的条件，我们可以通过解方程来求解最小值。首先，将方程x+3y=5xy变形为5xy-x-3y=0，再整理得到5xy-x-3y=0。然后，依据最小值的性质，我们可以使用拉格朗日乘数法进行求解。设L(x, y, λ) = 5xy - x - 3y + λ(x + 2y)为拉格朗日函数，其中λ为拉格朗日乘子。对L(x, y, λ)分别求偏导，并令其等于零，得到以下方程组：∂L/∂x = 5y - 1 + λ = 0 （1）∂L/∂y = 5x - 3 + 2λ = 0 （2）∂L/∂λ = x + 2y = 0 （3）从方程（3）中可以解得x = -2y，将其代入方程（1）和方程（2）中，得到：5y - 1 + λ = 0 （4）10y - 3 + 2λ = 0 （5）解方程组（4）和（5），可以得到y = 1/5，λ = 2/5。将y = 1/5代入方程（3），可以求得x = -2/5。所以，当3x + 4y取得最小值时，y(x + 2y)的值为(1/5)(-2/5 + 2(1/5)) = 2/25。