Question

4.已知函数 f(x)=2cos(2x+兀/6), 将f(x)的图象向左平移 ∝(∝>0) 个单位长度得到函数g（x）的图像。（1）若∝=兀/4，求g（x）的单调递增区间；（2）若∝∈（0，兀/2），g（x）的一条对称轴为直线x=兀/12，求当x∈[0，兀/2]时g（X）的值域

Answer 1

问：4.已知函数 f(x)=2cos(2x+兀/6), 将f(x)的图象向左平移 ∝(∝>0) 个单位长度得到函数g（x）的图像。（1）若∝=兀/4，求g（x）的单调递增区间；（2）若∝∈（0，兀/2），g（x）的一条对称轴为直线x=兀/12，求当x∈[0，兀/2]时g（X）的值域

答：根据题目所给信息:原函数 f(x)=2cos(2x+π/6) 的图像向左平移 π/4 个单位长度得到新函数 g(x)的图像。则 g(x)=2cos(2x+π/6-π/4)=2cos(2x+π/12)=f(x-π/4)(1) 若α=π/4,则g(x)=f(x-π/4),因此g(x)的单调递增区间为 f(x-π/4) 的单调递增区间平移π/4个单位后的区间。    由f(x)=2cos(2x+π/6)可知,f(x)的单调递增区间为[(π/12,5π/12),(7π/12,11π/12)]。    将这两个区间向左平移π/4个单位,得到:    g(x)的单调递增区间为[(0,π/2),(3π/4,7π/4)](2) 若α∈(0,π/2),则g(x)的一条对称轴为直线x=π/12。    当x∈[0,π/2]时,由g(x)=f(x-α)可得:        g(0)=f(0-α)=2  (α∈(0,π/2),所以0-α仍在f(x)的定义域内)        g(π/12)=f(π/12-α)=2   (π/12-α∈(0,π),仍在f(x)的定义域内)

答：所以,当x∈[0,π/2]时,g(x)的值域为[2,2]。所以,(1) g(x)的单调递增区间为[(0,π/2),(3π/4,7π/4)](2) 当x∈[0,π/2]时,g(x)的值域为[2,2]希望以上解释和推导过程能够帮助您理解该题。

问：本题的概念，基础公式是哪些

答：解这道题需要用到的基础公式有:1. 函数平移公式:g(x) = f(x - ∝)  (向左平移∝个单位)2. 正弦函数的单调性:sinx在[0,π]上单调递增,在[π,2π]上单调递减3. 正弦函数的周期性:sin(x + 2kπ) = sinx, (k为整数)4. 对称轴方程: y = k  (其中k为常数)根据这些公式,我们可以解这道题如下:(1) 由于f(x) = 2cos(2x + π/6),是一个周期为π/2的正弦函数.当∝ = π/4 时,g(x) = f(x - π/4) = 2cos(2x + π/6 - π/4) = 2cos(2x - π/12)所以g(x)的单调递增区间为:[(5π/12, 9π/12), (13π/12,17π/12)](2) 由g(x) = f(x - ∝) = 2cos(2x + π/6 - ∝),当∝∈(0,π/2)时,g(x)的周期为π/2且其对称轴为x = π/12。当x∈[0,π/2]时,g(x)映射到的y的值域为[2,2]。所以,(1) g(x)的单调递增区间为[(0,π/2),(3π/4,7π/4)] 

答：(2) 当x∈[0,π/2]时,g(x)的值域为[2,2]