Question

\(a_n\) lima=0(-1)^na_n^2 4.设数列单调,且,证明:交错级数收敛

Answer 1

问：\(a_n\) lima=0(-1)^na_n^2 4.设数列单调,且,证明:交错级数收敛

答：亲亲您好，根据您的问题\(a_n\) lima=0(-1)^na_n^2 4.设数列单调,且,证明:交错级数收敛：设数列 $\{a_n\}$ 单调递减，即 $a_n\geq a_{n+1}$，则有：\begin{align*}|(-1)^na_n^2|&=(-1)^na_n^2\leq a_n\\|(-1)^{n+1}a_{n+1}^2|&=a_{n+1}^2\geq 0\end{align*}由此可得：$$|(-1)^na_n^2-(-1)^{n+1}a_{n+1}^2|=a_{n+1}^2-a_n^2\geq 0$$因为 $\{a_n\}$ 是单调递减数列，所以 $a_{n+1}^2-a_n^2\leq 0$，故有：$$|(-1)^na_n^2-(-1)^{n+1}a_{n+1}^2|=-(a_n^2-a_{n+1}^2)\leq 0$$综上所述，$|(-1)^na_n^2-(-1)^{n+1}a_{n+1}^2|\to 0$，即满足莱布尼茨交错级数条件，故交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n^2$ 收敛。