Question

数模作业 计算矩阵的最大特征值和对应的归一化特征向量 急急急~ 用matlab算 要编程过程要答案

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Answer 1

先给你说个土的，就是Matlab的内置算法，可以算所有特征值和特征向量（没什么技术含量的，也没有什么思想，只是工程学上的纯应用罢了）。

A=[1 2 1/4 4 1/2;1/2 1 1/5 3 1/3;4 5 1 7 3;1/4 1/3 1/7 1 1/5; 2 3 1/3 5 1];
[V,D]=eigs(A)

结果：
V =
0.2532 -0.1274 - 0.1409i -0.1274 + 0.1409i -0.0586 + 0.3893i -0.0586 - 0.3893i
0.1608 -0.1373 + 0.0246i -0.1373 - 0.0246i 0.2097 - 0.1984i 0.2097 + 0.1984i
0.8616 0.9116 0.9116 0.7441 0.7441
0.0774 0.0024 + 0.0881i 0.0024 - 0.0881i -0.0832 + 0.0314i -0.0832 - 0.0314i
0.4020 0.0918 - 0.3118i 0.0918 + 0.3118i -0.3444 - 0.2854i -0.3444 + 0.2854i
D =
5.1374 0 0 0 0
0 0.0088 - 0.8328i 0 0 0
0 0 0.0088 + 0.8328i 0 0
0 0 0 -0.0775 - 0.0956i 0
0 0 0 0 -0.0775 + 0.0956i

所以最大特征值是5.1374，对应特征向量为[0.2532 0.1608 0.8616 0.0774 0.4020]‘。

再给你提供一种很专业的数值算法“幂法”，这是专门用来算矩阵最大特征值的经典算法。我大学里《数值分析》课程教授专门花了半节课讲解过这个算法和它的原理，“幂法”一出手，绝对是专业级的解答！“幂法“的算法过程其实很简单，就是拿一个向量，不停地用A乘，最后就会慢慢趋近于最大特征值对应的特征向量。“幂法”在矩阵拥有唯一最大特征值的前提下，迭代足够多次，就一定能收敛的，可以用线性代数的矩阵相似性原理证明。

我这段代码迭代了100次，取了随便一个向量[1 0 0 0 0]'作为初始值（一般是取个随机向量，其实没啥大差别）。“幂法”在矩阵阶数很高的情况下，比内置算法要快得多（一个5维矩阵是看不出速度上差别的）！

A=[1 2 1/4 4 1/2;1/2 1 1/5 3 1/3;4 5 1 7 3;1/4 1/3 1/7 1 1/5; 2 3 1/3 5 1];
v=[1 0 0 0 0]';
for i = 1:100
v=A*v;
v=v/sqrt(sum(v.^2));
end
lamda=sqrt(sum((A*v).^2))/sqrt(sum(v.^2))
v

结果：
lamda =
5.1374
v =
0.2532
0.1608
0.8616
0.0774
0.4020

最大特征值5.1374，对应特征向量[0.2532 0.1608 0.8616 0.0774 0.4020]‘。

可以看到，迭代了100次后，"幂法"和直接算法得出了完全一样的结果！用“幂法”，显得算法思想非常的清晰，不像用内置的eigs函数，你也不知道Matlab怎么算出来的，是不？

Answer 2

a=[1 2 1/4 4 1/2
1/2 1 1/5 3 1/3
4 5 1 7 3
1/4 1/3 1/7 1 1/5
2 3 1/3 5 1];
[V,D]=eigs(a)
V =
0.2532 -0.1274 - 0.1409i -0.1274 + 0.1409i -0.0586 + 0.3893i -0.0586 - 0.3893i
0.1608 -0.1373 + 0.0246i -0.1373 - 0.0246i 0.2097 - 0.1984i 0.2097 + 0.1984i
0.8616 0.9116 0.9116 0.7441 0.7441
0.0774 0.0024 + 0.0881i 0.0024 - 0.0881i -0.0832 + 0.0314i -0.0832 - 0.0314i
0.4020 0.0918 - 0.3118i 0.0918 + 0.3118i -0.3444 - 0.2854i -0.3444 + 0.2854i
D =
5.1374 0 0 0 0
0 0.0088 - 0.8328i 0 0 0
0 0 0.0088 + 0.8328i 0 0
0 0 0 -0.0775 - 0.0956i 0
0 0 0 0 -0.0775 + 0.0956i
V的第一列是归一化向量
D的第一个值就是对应最大的特征值

Answer 3

这个。。。。，你随便挑一个向量，设为x1，那么进行迭代，x（n+1）=Axn，只要不知有中彩票的运气，迭代个几千次，就能发现x（n+1）约等于kAxn，这里k就是最大特征值，而xn就是特征向量。