Question

已知：α，β为锐角，cosα= 1 7 ， sin(α+β)= 5 3 14 ，求β

已知：α，β为锐角，cosα= 1 7 ， sin(α+β)= 5 3 14 ，求β．

Answer 1

∵α，β为锐角，∴0＜α+β＜π． …（1分） ∵cosα= 1 7 ，sin（α+β）= 5 3 14 ， ∴sinα= 4 3 7 ，cos（α+β）=± 11 14 ． …（4分） 当cos（α+β）= 11 14 时，sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα= 5 3 14 ? 1 7 - 11 14 ? 4 3 7 ＜0，矛盾， ∴cos（α+β）=- 11 14 ．…（6分） ∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα …（8分） =- 11 14 ? 1 7 + 5 3 14 ? 4 3 7 = 1 2 ，…（10分） 又0＜β＜ π 2 ，∴β= π 3 ．…（12分）