Question

怎么证明正项级数的根值审敛法

Answer 1

问：怎么证明正项级数的根值审敛法

答：设lim(n→∞) un^(1/n)＝ρ＜1，则对于ε：0＜ε＜1－ρ，存在正整数N，当n＞N时，un^(1/n)＜ρ＋ε＜1，所以，un＜(ρ＋ε)^n，因为∑(ρ＋ε)^n收敛，所以∑un收敛若ρ＞1，则由极限的保号性，存在正整数N，当n＞N时，un^(1/n)＞1，所以un＞1，所以un的极限不可能是0，所以∑un发散

答：设，选取使得。对充分大的，时有，从而，。因为是无穷等比级数，所以收敛。由比较审敛法，知收敛。若，则有一收敛子数列，。於是有无限多个的项大於1。但若要收敛，则数列的极限必须为0。因此，发散。若，以p级数为例，因为，所以，又因为p级数当时收敛，时发散，所以可能收敛也可能发散。