Question

证明：m＞2个 n 维向量 a1，a2,…, am 线性相关的充要条件是这 m 个向量中必有一个向量是其余 m -1个向量的线性组合

Answer 1

问：证明：m＞2个 n 维向量 a1，a2,…, am 线性相关的充要条件是这 m 个向量中必有一个向量是其余 m -1个向量的线性组合

答：证明： m＞2个n维向量a1，a2，…，am线性相关的充要条件是这m个向量中必有一个向量是其余m-1个向量的线性组合。 假设a1，a2，…，am中ak可以用其余向量来表示。k为任意大于等于3小于m的自然数。 ak=k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am且k1到km不全为零。 否则ak为零向量，那么k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am+k(k)*ak=0时有非零解，则a1，a2，…，am线性相关。 ∴ak=k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am。 设l1*a1+l2*a2+……+lk*ak+……lm*am=0。 l1*a1+l2*a2+……+l1*(k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am)+……lm*am=0。 当k1，k2，……km全为-1时，上式成立，即l1，l2，……lm可以全为0，与a1，a2，……am线性无关矛盾。 假设线性相关，那么k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am+k(k)*ak=0有非零解。 假设k（k）不为0，那么ak=-a1/k(k)+……+-am/k(k)与条件矛盾。所以为充要条件。

问：好了吗

答：证明：m＞2个n维向量a1，a2，…，am线性相关的充要条件是这m个向量中必有一个向量是其余m-1个向量的线性组合。 假设a1，a2，…，am中ak可以用其余向量来表示。k为任意大于等于3小于m的自然数。 ak=k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am 且k1到km不全为零，否则ak为零向量。那么k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am+k(k)*ak=0时有非零解，则a1，a2，…，am线性相关。 ∴ak=k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am。 设l1*a1+l2*a2+……+lk*ak+……lm*am=0。 l1*a1+l2*a2+……+l1*(k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am)+……lm*am=0。 当k1，k2，……km全为-1时，上式成立。即l1，l2，……lm可以全为0，与a1，a2，……am线性无关矛盾。 假设线性相关，那么k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am+k(k)*ak=0有非零解。假设k（k）不为0，那么ak=-a1/k(k)+……+-am/k(k)，与条件矛盾。所以为充要条件。