Question

求证(b,c,d)a+(c,a,d)b+(a,b,d)c+(b,a,c)d=0 a,b,c,d皆为

Answer 1

问：求证(b,c,d)a+(c,a,d)b+(a,b,d)c+(b,a,c)d=0 a,b,c,d皆为向量>

答：你说的(b,c,d)是混合积，即先做叉乘，再做点乘混合积的性质是：三个向量轮换次序，混合积不变。比如(b,c,d)=(d,b,c)而其中两个向量交换次序，混合积变号，比如(b,c,d)=-(c,b,d)所以(b,c,d)a+(c,a,d)b+(a,b,d)c+(b,a,c)d=(b,c,d)a-(a,c,d)b+(d,a,b)c-(c,a,b)d=b·(c×d)·a-a·(c×d)·b+d·(a×b)·c-c·(a×b)·d如果c×d=a×b=0那么显然上式等于0如果c×d与a×b不为0则用原向量与c×d做点乘得到：b·(c×d)·a·(c×d)-a·(c×d)·b·(c×d)+d·(a×b)·c·(c×d)-c·(a×b)·d·(c×d)=b·(c×d)·a·(c×d)-a·(c×d)·b·(c×d)=0同理可得出原式和a×b、a×d、b×d的内积均为0而c×d、a×b、a×d、b×d不会都共面所以原向量=0