Question

已知(x²+3)y'+2xy-e2x=0,满足条件f(0)=1的特解

Answer 1

问：已知(x²+3)y'+2xy-e2x=0,满足条件f(0)=1的特解

答：首先，对方程进行变形，将y'移到等号左边，可以得到：y' = (e2x)/(2xy - x² - 3)接下来，我们可以采用分离变量法，即将x和y分别放到等号的两边，并进行积分：∫(1/y)dy = ∫(e2x/(2xy - x² - 3))dx利用求导公式可以得到：ln|y| = (1/2)ln|2xy - x² - 3| + C其中C是积分常数，可以通过初始条件f(0)=1来确定。将x=0和y=1代入上式，可以得到：ln|1| = (1/2)ln|-3| + C因此，C = ln(3/2)。将C代入上式得到：ln|y| = (1/2)ln|2xy - x² - 3| + ln(3/2)移项并取指数可以得到：y = (3/2)√(2xy - x² - 3)这就是满足条件f(0)=1的特解。

答：亲这是答案和解析

问：你好，y'的等式这里不是很理解

答：y' = (e2x)/(2xy - x² - 3)是这个吗 亲

问：是的

答：首先，将方程移项得到:(y' ·(x²+3)) - 2xy = e2x然后将 y' ·(x²+3) 除以 (x²+3)，得到:y' - (2xy)/(x²+3) = (e2x)/(x²+3)这时我们需要使用积分因子 e^(integral(-2x/(x²+3) dx)) 来将方程变为全微分形式。首先，计算积分因子的指数部分:integral(-2x/(x²+3) dx) = -ln|x²+3| + C其中 C 是任意常数。因此，积分因子为 e^(-ln|x²+3|+C) = e^(C-ln|x²+3|)。将积分因子乘到方程的两边得到:e^(C-ln|x²+3|) · y' - (2xy)/(x²+3) · e^(C-ln|x²+3|) = (e2x)/(x²+3) · e^(C-ln|x²+3|)这样左边的两项将会变为全微分，即:d/dx ( e^(C-ln|x²+3|) · y ) = (e2x)/(x²+3) · e^(C-ln|x²+3|)然后对两边同时积分得到:e^(C-ln|x²+3|) · y = integral( (e2x)/(x²+3) · e^(C-ln|x²+3|) dx ) + K其中 K 是常数。简化一下右边的积分式子得到:integral( (e2x)/(x²+3) · e^(C-ln|x²+3|) dx ) = (1/2) · integral( e^(2x-ln|x²+3|) d(x²+3) )= (1/2) · e^(2x-ln|x²+3|) + C’因此，我们有:e^(C-ln|x²+3|) · y = (1/2) · e^(2x-ln|x²+3|) + C’ + K将 K + C' 合并成一个常数 C，最终得到:y = (1/2) · e^(-2x+ln|x²+3|) · integral( e^(2x-ln|x²+3|) dx ) + Ce^(ln|x²+3|)y = (1/2) · (x²+3) · e^(-2x) · integral( e^(2x-ln|x²+3|) dx ) + C(x²+3)将最后一个式子求导可以得到 y' 的形式，即:y' = (e2x)/(2xy - x² - 3)

答：这是过程解析 亲

问：不好意思，没学过积分因子，有没有其他更简单的方法

答：亲那你想要什么方法解决可以和我说

答：亲首先将方程变形为：y' + (2x/(x²+3))y = e^(2x)/(x²+3)然后根据常系数齐次线性微分方程的通解公式，设通解为：y = Ce^(-∫2x/(x²+3)dx)其中∫2x/(x²+3)dx可以通过换元法得到：∫2x/(x²+3)dx = ln(x²+3)代入通解公式中，得到特解为：y = e^(-ln(x²+3)) * ∫e^(ln(x²+3)) e^(2x)/(x²+3) dx + C化简得到：y = 1/(x²+3) * ∫(x²+3)e^(2x)/(x²+3)dx + C = 1/(x²+3) * ∫e^(2x)dx + C = 1/(x²+3) * 1/2 * e^(2x) + C代入初始条件f(0)=1，解得C=1/2，因此特解为：y = 1/(x²+3) * 1/2 * e^(2x) + 1/2

答：亲 这是比较简单的解析方法

答：您看一下可以吗