Question

x=rsinθcosθ,两边同时对x求导的过程

Answer 1

问：x=rsinθcosθ,两边同时对x求导的过程

答：首先，根据乘积法则，有： x = r sinθ cosθ = (1/2)r(sin2θ) 然后对两边同时对 x 求导数： d/dx [x] = d/dx [(1/2)r(sin2θ)] 因为左边导数的结果为 1， 右边的导数可以利用复合函数求导法则以及三角函数的求导公式进行计算，得到： 1 = (1/2)cos(2θ) * d(r)/dx 将等式两边都乘以 2/cos(2θ)，得到： 2/cos(2θ) = d(r)/dx 因此，x=rsinθcosθ 两边同时对 x 求导的结果为 2/cos(2θ)。

问：不好意思，是x=rsinθcosφ

问：打错了

答：对等式两边同时对 x 求导数，需要使用到复合函数求导的链式法则。 首先，对右边进行求导，根据乘积法则和三角函数的求导公式有： d/dx [rsinθcosφ] = d/dr[rsinθcosφ] * dr/dx + d/dθ[rsinθcosφ] * dθ/dx + d/dφ[rsinθcosφ] * dφ/dx = sinθcosφ * d(r)/dx + rcosθcosφ * d(θ)/dx - rsinθsinφ * d(φ)/dx 因为 x = r sinθ cosφ，可以解出 d(r)/dx 和 d(θ)/dx： d(r)/dx = (1/sinθcosφ) * d(x)/dx d(θ)/dx = (-cosθ/sinθ) * d(x)/dx 将这两个结果代入上面的式子中，得到： d/dx [rsinθcosφ] = x/cosφ - tanθ * y - zcotφ 其中，y = rcosθsinφ，z = rsinθcosφ。 最后，将左边的导数也带入等式中： 1 = d/dx[x] = x/cosφ - tanθ * y - zcotφ

答：因此，x=rsinθcosφ 两边对 x 求导的结果为 x/cosφ - tanθ * y - zcotφ。

问：那dθ/dx的过程呢

答：根据题目中的等式 $x = r \sin \theta \cos \varphi$，我们可以求出 $\theta$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{d\theta}{dx}$。 对等式两边求导数，我们得到： $\frac{d}{dx}[x] = \frac{d}{dx}[r \sin \theta \cos \varphi]$ 由于 $x = r \sin \theta \cos \varphi$，我们可以进一步求解： $\frac{d\theta}{dx} = \frac{(1/r \cos \theta \cos \varphi) - (\tan \varphi / \cos \theta)}{(\sin \theta - \tan \theta \cdot \cot \varphi)}$ 因此，$\frac{d\theta}{dx}$ 的结果为： $\frac{(1/r \cos \theta \cos \varphi) - (\tan \varphi / \cos \theta)}{(\sin \theta - \tan \theta \cdot \cot \varphi)}$