Question

3.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=2,0<x＜1/2,0，其他。求 Y=4X^2-1 的概率密度

Answer 1

问：3.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=2,0

答：答:概率密度为:Y=4X^2-1的概率密度为：f(y) = 2 * sqrt((1+y)/2)，当-1 <= y <= 0和0 < y <= 1/2时，其它情况下概率密度为0。 解释如下哦

答：根据变量变换的公式，有：f(y) = f(x) * |dx/dy|其中，|dx/dy|表示Jacobian矩阵的绝对值，可以通过对变量变换公式求导得到：dx/dy = ±sqrt((1+y)/2)因为x只在0 < x < 1/2有概率密度，所以对于y的取值范围而言，当y -1或y > 1/2时，f(y) = 0。对于-1 <= y <= 0和0 < y <= 1/2两个区间内，需分别求出dx/dy的正负值，并带入公式中计算f(y)。具体如下：当-1 <= y <= 0时，dx/dy = -sqrt((1+y)/2)f(y) = f(x) * |dx/dy| = 2 * |-sqrt((1+y)/2)|= 2 * sqrt((1+y)/2)，其中，0 < x < 1/2，故0 < y < 0.75当0 < y <= 1/2时，dx/dy = sqrt((1+y)/2)f(y) = f(x) * |dx/dy| = 2 * sqrt((1+y)/2)其中，0 < x < 1/2，故0 < y < 0.75

答：因此，Y=4X^2-1的概率密度为：f(y) = 2 * sqrt((1+y)/2)，当-1 <= y <= 0和0 < y <= 1/2时，其它情况下概率密度为0。