|z-5|+|z+1|≤|z-2|找出所以z是复数的解

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咨询记录 · 回答于2023-03-15
|z-5|+|z+1|≤|z-2|找出所以z是复数的解
您好亲亲~~解析:我们将不等式转化为对应的几何问题。设 z 为复平面上的点,记 A、B、C 分别为 z - 5、z + 1、z - 2 的表示点。根据三角不等式,有:|z - 5| + |z + 1| ≥ |(z - 5) + (z + 1)| = 2|z - 2|因此,|z - 5| + |z + 1| ≤ |z - 2|这个不等式左边是两条线段长度之和,右边是另一条线段长度。根据几何直观,很容易发现:当 z 在 AB 之间时,|z - 5| + |z + 1| = (z - 5) + (z + 1) = 2z - 4;当 z 在 AC 之间时,|z - 5| + |z + 1| = -(z - 5) + (z + 1) = 6;当 z 在 BC 之间时,|z - 5| + |z + 1| = (z - 5) - (z + 1) = -6。因此,原不等式的解集是三角形 ABC 的闭包(包括边界)。ABC 的三个顶点分别是 5、-1 和 2,因此,AC:实部在区间 [-1, 2] 上,虚部为 0;BC:实部为 2,虚部在区间 [0, 6] 上;AB:虚部在区间 [-5, -1] 上,实部为 (y + 1)/2。综上所述,原不等式的解集为:{x + yi | x ∈ [-1, 2], y = 0} ∪ {2 + yi | y ∈ [0, 6]} ∪ {(y + 1)/2 + yi | y ∈ [-5, -1]}。其中,i 是虚数单位。
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