Question

若xyz都是正数且x+y+z=2则1/x+1 +1/y+z 的最小值

Answer 1

问：若xyz都是正数且x+y+z=2则1/x+1 +1/y+z 的最小值

答：亲，你好，我是唐娜老师，很高兴为您解答。若xyz都是正数且x+y+z=2则1/x+1 +1/y+z 的最小值是9/2.证明:1) 根据x+y+z=2,可知当x=y=z时,x,y,z的值最大2) 将x=y=z=2/3带入1/x+1/y+1/z,可得最小值为9/23) 当x,y,z中任意一个变小时,1/x+1/y+1/z的值会变大。4) 因此,在满足条件x+y+z=2的情况下,1/x+1/y+1/z的最小值是9/2。

问：用基本不等式怎么做呢，那个是1/（x+1）+1/(y+z)

答：亲，用基本不等式的做法如下：1) 根据题意,x,y,z都是正数,且x+y+z=22) 对1/x+1/y+1/z用基本不等式化简:1/x + 1/y + 1/z≥ 3/(x+y+z) (重要不等式)= 3/23) 又因为x,y,z都是正数,所以:1/x + 1/y + 1/z > 04) 综合上面的两个不等式得:1/x + 1/y + 1/z ≥ 3/25) 所以当x=y=z=2/3时,等号成立,1/x + 1/y + 1/z 取到最小值3/2。6) 综上所述,利用基本不等式可以证明:如果xyz都是正数且x+y+z=2,则1/x + 1/y + 1/z的最小值是3/2。

问：对y加z分之一，不是y分之一加z分之一

答：首先根据均值不等式，有：(x+1)+(y+z) ≥ 2√((x+1)(y+z))因此，2√((x+1)(y+z)) ≤ 2(x+1+y+z) = 2(2) = 4将其代入原式，得到：1/(x+1) + 1/(y+z) ≥ 1/√((x+1)(y+z))要使得右侧表达式最小，根据最小值的性质，取等号的条件必须同时满足。即 (x+1)+(y+z) = 4 ，而且 x+1 = y+z解这两个方程可得 x = 1, y = z = 1/2即最小值是 1/√((x+1)(y+z)) = 1/√(2*1/2) = 1/√1 = 1所以，1/(x+1) + 1/(y+z) 的最小值为 1。