Question

正数x,y,z满足x^2,y^2,z^2,x+y+z都是有理数,证明x,y,z一定是有理数

Answer 1

问：正数x,y,z满足x^2,y^2,z^2,x+y+z都是有理数,证明x,y,z一定是有理数

答：要证明x, y, z是有理数，我们可以假设它们是有理数，然后通过逆证法证明它们确实是有理数。假设x, y, z是有理数，可以表示为x = a/b, y = c/d, z = e/f，其中a, b, c, d, e, f是整数且b, d, f不等于0。由于x^2是有理数，我们有(x^2) = (a/b)^2 = a^2/b^2是有理数。根据有理数的乘法封闭性，a^2也是整数，b^2不等于0。同样地，由于y^2和z^2是有理数，我们有(b^2c^2)/d^2和(b^2e^2)/f^2都是有理数。考虑到x+y+z是有理数，我们有(a/b) + (c/d) + (e/f) = (adf + bcf + bde)/(bdf)是有理数。根据有理数的加法封闭性，(adf + bcf + bde)是整数，bdf不等于0。现在我们将adf + bcf + bde的分子进行调整得到整数形式，因此可以得到：(adf + bcf + bde) = k，其中k是整数。根据等式，我们可以得到：(a^2bdf) + (bc^2df) + (b^2def) = k(b^2df)

答：右边是整数，所以左边也是整数。根据有理数的乘法封闭性，a^2bdf，bc^2df和b^2def都是整数。假设b是非零整数，那么bdf也是非零整数。那么左边的每一项都是整数乘以非零整数，结果仍然是整数。这就意味着a^2，c^2和e^2都是整数，即x，y和z都是有理数。因此，通过逆证法，我们可以得出结论：如果x^2，y^2，z^2以及x+y+z都是有理数，则x，y，z一定是有理数。

问：不太理解这个方法

答：好

答：我在换一个

答：需要你等会

问：好的

答：假设x,y,z不都是有理数，即至少有一个不是有理数。假设x不是有理数。由于x^2是有理数，所以x^2-y^2=(x+y)(x-y)是有理数。由于x+y是有理数，而x-y不是有理数，所以x-y是有理数。那么，(x+y)+(x-y)=2x是有理数。又由于x+y是有理数，所以2x-(x+y)=x-y是有理数。综上所述，x-y和x-y都是有理数。因为有理数的和、差、积、商均为有理数，所以(x-y)*(x+y)=(x^2-y^2)是有理数。又因为x^2-y^2是有理数，而x^2-y^2=(x+y)(x-y)是有理数，所以(x+y)和(x-y)都是有理数。由于(x+y)和(x-y)都是有理数，所以[(x+y)+(x-y)]/2和[(x+y)-(x-y)]/2都是有理数。即x和y都是有理数。同理，如果y或z不是有理数，可以得到矛盾。所以，假设不成立，即x,y,z必须都是有理数。

答：我们只能假设不都是有理数，接着证明这个假设是错误的

问：假设x,y,z不都是有理数，即至少有一个不是有理数。假设x不是有理数。由于x^2是有理数，所以x^2-y^2=(x+y)(x-y)是有理数。由于x+y是有理数，而x-y不是有理数，所以x-y是有理数。这描述的有问题呀，不是然后又是

答：我们假设的是x不是有理数，但是题目上x平方它是有理数

答：所以他是相互矛盾的

答：他们是

答：所以这个假设是不正确的

问：这么怎么直接判断出x+y是有理数