Question

20.设等差数列{an}的公差为d,且 d>1. 令 bn=(n^2+n)/an, 记Sn,Tn分别为数列 }

Answer 1

问：20.设等差数列{an}的公差为d,且 d>1. 令 bn=(n^2+n)/an, 记Sn,Tn分别为数列 }

答：Sn和Tn的前n项和，即Sn = b1 + b2 + ... + bn，Tn = a1 + a2 + ... + an。首先，我们可以推导出数列{bn}的通项公式。根据题意，有：bn = (n^2 + n) / an由等差数列的通项公式可知，an = a1 + (n - 1)d。代入上式，得到：bn = (n^2 + n) / (a1 + (n - 1)d)接下来，我们计算Sn的前n项和。根据Sn的定义，有：Sn = b1 + b2 + ... + bn代入bn的表达式，得到：Sn = [(1^2 + 1) / (a1 + (1 - 1)d)] + [(2^2 + 2) / (a1 + (2 - 1)d)] + ... + [(n^2 + n) / (a1 + (n - 1)d)]将每一项的分子进行展开，得到：Sn = [(1 + 1) / (a1 + (1 - 1)d)] + [(2 + 2) / (a1 + (2 - 1)d)] + ... + [(n + n) / (a1 + (n - 1)d)]化简分子，得到：Sn = [2 / (a1 + (1 - 1)d)] + [4 / (a1 + (2 - 1)d)] + ... + [2n / (a1 + (n - 1)d)]继续化简，得到：Sn = 2[(1 / (a1 + (1 - 1)d)) + (2 / (a1 + (2 - 1)d)) + ... + (n / (a1 + (n - 1)d))]注意到括号内每一项的分母是等差数列的通项公式，即：Sn = 2[1/a1 + 2/(a1 + d) + ... + n/(a1 + (n - 1)d)]可以看出，Sn是等差数列 {1/a1, 2/(a1 + d), ..., n/(a1 + (n - 1)d)} 的前n项和的两倍。接下来，我们计算Tn的前n项和。根据Tn的定义，有：Tn = a1 + a2 + ... + an利用等差数列的求和公式，可以得到：Tn = [n * (a1 + an)] / 2将an代入，得到：Tn = [n * (a1 + (a1 + (n - 1)d))] / 2化简，得到：Tn = [n * (2a1 + (n - 1)d)] / 2进一步化简，得到：

答：Tn = n * (a1 + (n - 1)d)综上所述，Sn是等差数列 {1/a1, 2/(a1 + d), ..., n/(a1 + (n - 1)d)} 的前n项和的两倍，而Tn = n * (a1 + (n - 1)d)。