Question

求微分方程y’’+2y’+ay的通解

Answer 1

问：求微分方程y’’+2y’+ay的通解

答：您好，这是一个二阶线性齐次微分方程，可以使用特征方程的方法求解。 特征方程是通过假设解为指数函数形式 $y=e^{rt}$，然后将其带入微分方程中得到的方程。特征方程为 $r^2+2r+a=0$。 接下来，使用求解一元二次方程的公式，得到特征根：$r=\frac{-2\pm\sqrt{4-4a}}{2}= -1\pm\sqrt{1-a}$ 因为特征根可能是实数或复数，所以解有三种情况： 当 $a c_1 e^{(-1+\sqrt{1-a})t} + c_2 e^{(-1-\sqrt{1-a})t}$ 当 $a=1$ 时，特征根为 $r=-1$。因此，通解为：$y(t) = c_1 e^{-t} + c_2 t e^{-t}$ 当 $a>1$ 时，特征根为 $r_1=-1+i\sqrt{a-1}$ 和 $r_2=-1-i\sqrt{a-1}$。因此，通解为：$y(t) = e^{-t}\left(c_1 \cos(\sqrt{a-1}t) + c_2 \sin(\sqrt{a-1}t)\right)$ 其中，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。

答：这是一个二阶线性齐次微分方程，可以使用特征方程的方法求解。特征方程是通过假设解为指数函数形式 $y=e^{rt}$，然后将其带入微分方程中得到的方程。特征方程为 $r^2+2r+a=0$。 接下来，使用求解一元二次方程的公式，得到特征根： $r=\frac{-2\pm\sqrt{4-4a}}{2}= -1\pm\sqrt{1-a}$ 因为特征根可能是实数或复数，所以解有三种情况： 当 $a \neq 1$ 时，解为 $y(t) = c_1 e^{(-1+\sqrt{1-a})t} + c_2 e^{(-1-\sqrt{1-a})t}$。 当 $a=1$ 时，特征根为 $r=-1$。因此，通解为：$y(t) = c_1 e^{-t} + c_2 t e^{-t}$。 当 $a>1$ 时，特征根为 $r_1=-1+i\sqrt{a-1}$ 和 $r_2=-1-i\sqrt{a-1}$。因此，通解为：$y(t) = e^{-t}\left(c_1 \cos(\sqrt{a-1}t) + c_2 \sin(\sqrt{a-1}t)\right)$。 其中，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。

答：开方号用 \sqrt{} 表示，其中大括号内是被开方的表达式。例如，\sqrt{x} 表示 x 的平方根。积分符号用 \int 表示，下标和上标用 _ 和 ^ 表示。例如，\int_{a}^{b} f(x)dx 表示函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的积分。

答：上下标： 上标表示幂运算，下标表示指标或者下标。例如，$x^2$ 表示 $x$ 的平方，$a_n$ 表示数列 ${a_n}$ 中的第 $n$ 项。 分数线： 分数线表示分数。例如，$\frac{3}{4}$ 表示 $3$ 除以 $4$。 开方号： 开方号表示根号。例如，$\sqrt{2}$ 表示 $2$ 的平方根。 希腊字母： 希腊字母通常用于表示数学中的常数或变量，它们的大小写形式有很多，例如，$\alpha$ 表示α，$\beta$ 表示β，$\gamma$ 表示γ，$\theta$ 表示θ，$\pi$ 表示π，$\omega$ 表示ω等等。 求和符号： 求和符号表示数列或者序列的和。例如，$\sum_{i=1}^n a_i$ 表示数列 ${a_n}$ 前 $n$ 项的和。 积分符号： 积分符号表示函数的积分。例如，$\int_a^b f(x)dx$ 表示函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的积分。