Question

反常积分x^p(1-e^-x)/(1+x)^q的敛散性

Answer 1

问：反常积分x^p(1-e^-x)/(1+x)^q的敛散性

答：亲亲您好！ 考虑分母的情况： * 当 $q \leq 1$ 时，分母为无穷大，且对于任意实数 $p$ ，都有 $\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^p}{(1+x)^q} = 0$ ，因此此时反常积分收敛。 * 当 $q > 1$ 时，分母在 $x \to \infty$ 时的变化比分子快，因此反常积分发散。 因此，当 $q < 1$ 时，反常积分 $\int x^p(1-e^{-x}) \frac{1}{(1+x)^q} \, dx$ 收敛；当 $q \geq 1$ 时，反常积分发散。

问：反常积分0到正无穷的时候吗

答：亲老师这里看不清图片麻烦亲用文字形式打出来老师这里帮您解决。

答：根据定义，当反常积分收敛时，我们需要对积分区间进行极限操作，即计算： lim b→∞ ∫0^b x^p(1-e^-x)/(1+x)^q dx 如果这个极限值存在且有限，则反常积分收敛。否则，反常积分发散。 对于 q ≤ 1 的情况，我们已经证明了反常积分收敛，因此可以计算这个极限值。具体来说，由于极限的存在性和有限性与区间的右端点 b 有关，我们需要对不同的 b 值进行计算，并验证它们是否趋近于同一个常数。 对于 q > 1 的情况，我们已经证明了反常积分发散，因此无需计算这个极限值。 综上所述，我们需要根据 q 的取值，分别判断反常积分是否收敛，并在 q < 1 的情况下，进行极限计算验证。

问：题目是在0到正无穷，反常积分x^p(1-e^-x)/(1+x)^q的敛散性

答：考虑分母的情况： 当 $q < 1$ 时，分母为无穷大，且对于任意实数 $p$ 都有 $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^{p}}{(1+x)^{q}} = 0$ ，因此此时反常积分收敛。 当 $q \geqslant 1$ 时，分母在 $x \to \infty$ 时的变化比分子快，因此反常积分发散。 因此，当 $q < 1$ 时，反常积分 $\int_{0}^{\infty}\frac{x^{p}(1-e^{-x})}{(1+x)^{q}} \text{ d}x$ 收敛； 当 $q \geqslant 1$ 时，反常积分发散。

问：p呢

答：我们需要进一步考虑不同的 p 值对收敛性的影响。 当 p < q-1 时，我们可以利用比较判别法，将分子中的 e^-x 部分视为常数，而分母中的 1+x 的增长速度比 e^x 快，因此我们可以将分母估计为 e^x，得到： x^p(1-e^-x)/(1+x)^q x^p(1-e^-x)/e^(q-1)x = x^p*e^(-q+1)x - x^p*e^-x x^p*e^(-q+1)x 因此，我们可以得到一个类似于正项级数的比较级数测试的形式，即如果 p > q-1，则反常积分收敛，否则发散。 综合以上讨论，我们可以得到该反常积分收敛的充要条件为：q > 1 且 p > q-1。