Question

级数1/n为什么发散而1/n^2收敛

Answer 1

级数是由无穷多个项相加而成的无限和。当所有项都是正数时，加法代表着项的增加效应。如果每个项都足够大，它们的和就会变得无限大。因此，级数的和可能是收敛（有限）或发散（无限）的。
在本问题中，我们考虑了两个级数1/n和1/n^2。 1/n级数的项会随着n的增加而逐渐减小，但在求和时，所有项都将相加。这意味着虽然每个项都比前一个项小，但仍会导致总和趋近于无限大，并且级数发散。
另一方面，由于1/n^2级数的项比1/n级数的项小得多，整个系列的总和很容易受到更小的变化，因此级数收敛。事实上，通过数学证明可以证明1/n^2级数是一个收敛的调和级数。
这可以通过使用级数的比较测试来解释。比较测试表明，如果存在一个级数发散而另一个级数收敛，并且两个级数的项具有类似的大小和形状，则其中一个级数的总和将类似于另一级数的总和。因此，由于1/n^2级数的项比1/n级数的项小得多，因此1/n^2级数收敛，而1/n级数发散。
总之，级数1/n发散而1/n^2收敛的原因在于它们的项大小和形状的差异。这种差异导致1/n级数的总和趋近于无限大，而1/n^2级数在收敛的条件下具有更小的总和。