Question

已知M(x1,y1)N(x2,y2)在椭圆上,p(a/4,0)且PM=PN,求椭圆的离心率取值范围

Answer 1

问：已知M(x1,y1)N(x2,y2)在椭圆上,p(a/4,0)且PM=PN,求椭圆的离心率取值范围

答：更具您的题意，我们列出以下方程设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则 $PM=PN$ 等价于点 $P$ 在椭圆的中心点 $O(0,0)$ 所在的直线上。设该直线方程为 $y=kx$，则有:$$\begin{aligned} &\sqrt{(x_1-a/4)^2+y_1^2} = \sqrt{(x_1+a/4)^2+y_1^2}\ &\sqrt{(x_2-a/4)^2+y_2^2} = \sqrt{(x_2+a/4)^2+y_2^2}\ &y_1=kx_1,\quad y_2=kx_2\end{aligned}$$

答：化简得：$$\begin{aligned} &a x_1 = \frac{1}{2} a^2 - \frac{{a^2} k^2}{2k^2 + 4},\quad a x_2 = \frac{1}{2} a^2 + \frac{{a^2} k^2}{2k^2 + 4}\ &y_1^2 = \frac{{a^2}(4k^2-1)}{4k^2+4}, \quad y_2^2 = \frac{{a^2}(4k^2-1)}{4k^2+4}\end{aligned}$$将 $a x_1$ 和 $a x_2$ 代入 $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$ 中得：$$\frac{1}{4} - \frac{4k^2}{4k^2 + 4} = \frac{y_1^2}{a^2}$$同理可得：$\frac{1}{4} - \frac{4k^2}{4k^2 + 4} = \frac{y_2^2}{a^2}$

答：由于点 $M$ 和 $N$ 均落在椭圆上，因此有 $\frac{{x_1}^2}{a^2}+\frac{{y_1}^2}{b^2}=1$ 和 $\frac{{x_2}^2}{a^2}+\frac{{y_2}^2}{b^2}=1$，且 $x_1^2+y_1^2>x_2^2+y_2^2$。将式子代入可得：$$\frac{1}{4} - \frac{4k^2}{4k^2 + 4} = \frac{y_1^2}{a^2} > \frac{y_2^2}{a^2} = \frac{1}{4} - \frac{4k^2}{4k^2 + 4}$$于是得到：$\frac{1}{4(1+k^2)}<\frac{y_1^2}{a^2}<\frac{1}{4}$。进一步化简得到：$$0<\frac{4k^2}{4k^2+4}<\frac{y_1^2}{a^2}<1$$

答：整理得到：$$0<\frac{k^2}{1+k^2}<\frac{y_1^2}{a^2}+\frac{x_1^2}{a^2}<1$$将 $\frac{y_1^2}{a^2}+\frac{x_1^2}{a^2}=1$ 代入，得到：$$0<\frac{k^2}{1+k^2}<1$$因此，椭圆的离心率 $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{1+k^2}}$ 的取值范围为 $(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$

问：乱码，看不清

问：手机上是乱码的

问：看不懂

答：根据题目已知条件，我们可以列出方程：椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。P点的坐标为 (a/4, 0)。M点的坐标为 (x1, y1)。N点的坐标为 (x2, y2)

答：由于PM = PN，我们可以得到以下两个等式：PM^2 = (x1 - a/4)^2 + y1^2PN^2 = (x2 - a/4)^2 + y2^2又因为M(x1, y1)和N(x2, y2)在椭圆上，根据椭圆方程，我们有：(x1/a)^2 + (y1/b)^2 = 1(x2/a)^2 + (y2/b)^2 = 1将PM和PN的等式带入椭圆方程中，我们得到：[(x1 - a/4)/a]^2 + (y1/b)^2 = 1[(x2 - a/4)/a]^2 + (y2/b)^2 = 1整理得到：(x1 - a/4)^2 = a^2 - a^2/16 - y1^2 * (a^2/b^2)(x2 - a/4)^2 = a^2 - a^2/16 - y2^2 * (a^2/b^2)由于题目没有提供M和N的具体坐标，我们无法具体计算离心率的取值范围。然而，根据椭圆的性质，离心率的取值范围为 0 < e < 1，其中 e 表示离心率。离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。