Question

求方程dy/dx=2x(1+y)的通解

Answer 1

问：求方程dy/dx=2x(1+y)的通解

答：您好，亲，求方程dy/dx=2x(1+y)的通解如下：将dy/dx=2x(1+y)移项得到：(1/(1+y))dy=2x dx对等式两边进行积分，得到∫(1/(1+y))dy=∫2x dx+C

答：左边的积分可以通过换元法进行求解，假设u=1+y，那么dy=du，将这些代入到上式得到：ln|1+y|=x^2+C

答：将C表示为常数k，得到通解：ln|1+y|=x^2+k其中y为解析式，k为常数。

问：求复合函数y=arcsin(3x²-2）的导数

答：设u=3x²-2，则y=arcsin(u)根据链式法则，导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx我们先求出dy/du和du/dx：dy/du = 1/√(1-u²)du/dx = 6x

答：将它们代入到导数公式中，可以得到：dy/dx = dy/du * du/dx = (1/√(1-u²)) * 6x将u=3x²-2代入，得到：dy/dx = (1/√(1-(3x²-2)²)) * 6x

答：因此，复合函数y=arcsin(3x²-2)的导数为：dy/dx = (1/√(1-(3x²-2)²)) * 6x

问：用对数求导法求y=x³ˣ⁻¹的导数

答：对于这道题，我们可以使用对数求导法来求解。具体步骤如下：1，令y = x³ˣ⁻¹，取对数得到 ln(y) = ln(x³ˣ⁻¹)。2，利用对数的性质，将指数移到前面，得到 ln(y) = (x⁻¹)ln(x³)。3，对上式两边同时求导，得到 dy/y = [(1/x) - ln(x)/x²]dx。

答：4，将上式中的y用y = x³ˣ⁻¹代入，得到 dy/dx = [(x² - 3ln(x))/x²]y = [(x² - 3ln(x))/x²]x³ˣ⁻¹。5，化简得到导数 dy/dx = x²(3x⁻¹ln(x) - 1) x³ˣ⁻¹。

答：因此，y = x³ˣ⁻¹的导数为 dy/dx = x²(3x⁻¹ln(x) - 1) x³ˣ⁻¹。

问：计算定积分∫1到2（x-2）的绝对值dx

答：当x2时，|x-2|=x-2；因此，可以将原式分为两个区间进行计算：

答：∫1到2（x-2）的绝对值dx = ∫1到2 (2-x) dx + ∫2到2 (x-2) dx= [2x - x^2/2]在1到2之间的值 + [x^2/2 - 2x]在2到2之间的值= (2 - 1/2) - (0 - 1/2) + (2 - 4) - (4 - 4)= 3/2因此，∫1到2（x-2）的绝对值dx = 3/2。

答：这是一个积分式，可以表示为：∫[0, t0] (1-cos(t)) dt其中，[0, t0]表示积分的区间为0到t0。

答：要求解这个积分，可以使用积分的基本公式，即：∫(1-cos(t)) dt = t - sin(t) + C其中，C是常数。

答：将上式带入原式，得到：∫[0, t0] (1-cos(t)) dt = [t0 - sin(t0)] - [0 - sin(0)] = t0 - sin(t0)因此，原式的解为 t0 - sin(t0)。