已知(a,b)=1,则(5a+3b,13a+8b)

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摘要我们可以使用矩阵的方法来证明这个结论。设矩阵A = [a, b]，则A的行列式为 |A| = ad - bc = 1，其中d为A的另一个元素。考虑矩阵B = [5 3; 13 8]，则AB = [5a+3b, 3a+5b; 13a+8b, 8a+13b]现在我们要计算B的行列式，即|B| = 58 - 313 = 1因此，有det(AB) = det(A) * det(B) = 1 * 1 = 1由于det(AB) = (5a+3b)(8a+13b) - (3a+5b)(13a+8b) = 1，因此可知(5a+3b, 13a+8b)的最大公约数为1。因此，如果已知(a, b) = 1，则必有(5a+3b, 13a+8b) = 1。因此，我们证明了如果已知(a,b)=1，则(5a+3b,13a+8b)=1的结论成立。

咨询记录 · 回答于2023-06-09

已知(a,b)=1,则(5a+3b,13a+8b)

我们可以使用矩阵的方法来证明这个结论。设矩阵A = [a, b]，则A的行列式为 |A| = ad - bc = 1，其中d为A的另一个元素。考虑矩阵B = [5 3; 13 8]，则AB = [5a+3b, 3a+5b; 13a+8b, 8a+13b]现在我们要计算B的行列式，即|B| = 58 - 313 = 1因此，有det(AB) = det(A) * det(B) = 1 * 1 = 1由于det(AB) = (5a+3b)(8a+13b) - (3a+5b)(13a+8b) = 1，因此可知(5a+3b, 13a+8b)的最大公约数为1。因此，如果已知(a, b) = 1，则必有(5a+3b, 13a+8b) = 1。因此，我们证明了如果已知(a,b)=1，则(5a+3b,13a+8b)=1的结论成立。

将3a - 2b = 15两边同时乘以5，得到：15a - 10b = 75将100 - 5a + 4b中的5a和4b分别替换成3a和2b，并将100和75相减，有：100 - 5a + 4b = 100 - 3a - 2b + a + 75 - 75化简可得：100 - 5a + 4b = 25 + a - 2b然后将原先的3a - 2b = 15移项得到a = (2b + 15) / 3，将其带入上式中，得到：100 - 5a + 4b = 25 + (2b + 15) / 3 - 2b化简可得：100 - 5a + 4b = (2b + 20) / 3因此，如果3a - 2b = 15，则100 - 5a + 4b = (2b + 20) / 3。

根据3a - 2b = 15推出的a = (2b + 15) / 3，代入100 - 5a + 4b = (2b + 20) / 3中，有：100 - 5((2b + 15) / 3) + 4b = (2b + 20) / 3化简可得：300 - 10(2b + 15) + 12b = 2b + 20化简后为：-8b = -130

65/4

解出b =65/4将其代入a = (2b + 15) / 3中，有：a = (2*65/4+ 15) / 3 = 95/6因此，有100 - 5a + 4b = 100-5*95/6+65=515/6

3/2

最后答案我在核实一下

没错亲515/6

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