Question

∫xeˣdx为什么等于∫x(eˣ)'dx

Answer 1

问：∫xeˣdx为什么等于∫x(eˣ)'dx

答：∫xe^x dx 为什么等于 ∫x(e^x)' dx 这是因为 ∫x(e^x)' dx 的原函数是 xe^x + C，其中 C 为常数。我们可以通过链式法则来证明这一点。 首先，我们可以使用链式法则来计算 (e^x)'，即 (e^x)' = e^x * 1。因此，我们可以将 ∫xe^x dx 写成 ∫x * (e^x)' dx。 接下来，我们可以使用分部积分法来计算 ∫x * (e^x)' dx。令 u = x，v' = e^x，则 v = e^x。根据分部积分法的公式，我们有： ∫x * (e^x)' dx = uv - ∫v * u' dx = xe^x - ∫e^x dx 因此，∫xe^x dx = xe^x - ∫e^x dx。我们可以发现，∫e^x dx 的原函数是 e^x + C，其中 C 为常数。 因此，我们可以将 ∫xe^x dx 写成 xe^x - (e^x + C) + C，即 ∫xe^x dx = ∫x * (e^x)' dx。 因此，我们可以得出结论，∫xe^x dx = ∫x * (e^x)' dx。