Question

计算y=x·arcsinx-根号1-x平方的二阶导

Answer 1

问：计算y=x·arcsinx-根号1-x平方的二阶导

答：首先，我们可以对 $y=x\arcsin x - \sqrt{1-x^2}$ 分别求一阶导数：$\frac{dy}{dx}=\arcsin x + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$接下来，我们对 $\frac{dy}{dx}$ 再次求导：$\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dx}\left(\arcsin x + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) \ &=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x^2}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ &=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x^2+1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}$因此，$y=x\arcsin x - \sqrt{1-x^2}$ 的二阶导数为 $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x^2+1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}$。