求微分方程 y'+1/xy= 1/x2满足初始条件y(1)=0的特解。
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您好，亲亲！
很高兴为您效劳呢！
据我了解，我们可以使用一阶线性微分方程的标准解法，依次进行三个步骤：
1. 求齐次微分方程通解
把方程改写为：y' + (1/x)y = 0
这是一个一阶线性齐次微分方程，标准形式为 y' + p(x)y = 0
其中，p(x) = 1/x
根据一阶线性齐次微分方程的通解公式：y = C * exp(-∫p(x)dx)
代入得到：y = C * x^(-1)
2. 求特解
把方程改写为：y' + (1/x)y = 1/x^2
这是一个具有常数项 1/x^2 的一阶线性非齐次微分方程。
我们可以通过常数变易法求解其特解。
我们猜测特解有形式 y = A/x ，其中 A 是待定常数。
对 y 进行求导：y' = -A/x^2
将 y 和 y' 代入原方程，得到：-A/x^2 + (1/x) * (A/x) = 1/x^2
化简得：A = -1
因此我们得到特解为：y = -1/x
3. 求满足初始条件 y(1) = 0 的特解
根据齐次微分方程通解公式，当 x = 1 时：y = C * x^(-1) = C
结合特解，得到完整的通解：y = -1/x + C
带入初始条件 y(1) = 0：0 = -1/1 + CC = 1
因此，满足初始条件 y(1) = 0 的特解为：y = -1/x + 1
咨询记录 · 回答于2024-01-07
求微分方程 y'+1/xy= 1/x2满足初始条件y(1)=0的特解。
您好，亲亲！
很高兴为您效劳呢！据我了解，我们可以使用一阶线性微分方程的标准解法，依次进行三个步骤：
1. 求齐次微分方程通解
把方程改写为：y' + (1/x)y = 0
这是一个一阶线性齐次微分方程，标准形式为 y' + p(x)y = 0
其中，p(x) = 1/x
根据一阶线性齐次微分方程的通解公式：y = C * exp(-∫p(x)dx)
代入得到：y = C * x^(-1)
2. 求特解
把方程改写为：y' + (1/x)y = 1/x^2
这是一个具有常数项 1/x^2 的一阶线性非齐次微分方程。
我们可以通过常数变易法求解其特解。
我们猜测特解有形式 y = A/x ，其中 A 是待定常数。
对 y 进行求导：y' = -A/x^2
将 y 和 y' 代入原方程，得到：-A/x^2 + (1/x) * (A/x) = 1/x^2
化简得：A = -1
因此我们得到特解为：y = -1/x
3. 求满足初始条件 y(1) = 0 的特解
根据齐次微分方程通解公式，当 x = 1 时：y = C * x^(-1) = C
结合特解，得到完整的通解：y = -1/x + C
带入初始条件 y(1) = 0：0 = -1/1 + CC = 1
因此，满足初始条件 y(1) = 0 的特解为：y = -1/x + 1
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1. 求齐次微分方程通解
把方程改写为：y' + (1/x)y = 0
这是一个一阶线性齐次微分方程，标准形式为 y' + p(x)y = 0
其中，p(x) = 1/x
根据一阶线性齐次微分方程的通解公式：y = C * exp(-∫p(x)dx)
代入得到：y = C * x^(-1)
2. 求特解
把方程改写为：y' + (1/x)y = 1/x^2
这是一个具有常数项 1/x^2 的一阶线性非齐次微分方程。
我们可以通过常数变易法求解其特解。
我们猜测特解有形式 y = A/x ，其中 A 是待定常数。
对 y 进行求导：y' = -A/x^2
将 y 和 y' 代入原方程，得到：-A/x^2 + (1/x) * (A/x) = 1/x^2
化简得：A = -1
因此我们得到特解为：y = -1/x
3. 求满足初始条件 y(1) = 0 的特解
根据齐次微分方程通解公式，当 x = 1 时：y = C * x^(-1) = C
结合特解，得到完整的通解：y = -1/x + C
带入初始条件 y(1) = 0：0 = -1/1 + CC = 1
因此，满足初始条件 y(1) = 0 的特解为：y = -1/x + 1
设 a_n=(-1)^nsin1/n ,判定级数∑_(n=1)^∞a n与∑_(n=1)^∞a_n^2的收敛性
您好，亲亲！
很高兴为您效劳呢！据我了解，首先，设 $a_n = (-1)^n \sin\frac{1}{n}$。我们来看级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性。我们可以使用莱布尼茨交错级数判定法。莱布尼茨交错级数判定法的条件为：
1. $a_n$ 严格单调递减趋于零；
2. 当 $n$ 趋于无穷大时，$a_n$ 的绝对值趋于零。
首先证明条件 2。当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\sin\frac{1}{n} \rightarrow 0$，因此 $a_n$ 的绝对值趋于零。
然后证明条件 1。令 $b_n =\frac{1}{n}$，则 $b_n$ 严格单调递减趋于零。显然有 $a_n$ 的符号等于 $(-1)^n$ 的符号，即 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 符号相反。
当 $n$ 为奇数时，$a_{n+1} = -\sin\frac{1}{n+1}$，因此有 $|a_{n+1}|<|a_n|$。
当 $n$ 为偶数时，$a_{n+1} = \sin\frac{1}{n+1}$，因此有 $|a_{n+1}|<|a_n|$。
综上，$a_n$ 严格单调递减，且 $a_n \rightarrow 0$。因此，根据莱布尼茨交错级数判定法，级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
接着，我们来看级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 的收敛性。由于 $a_n^2 = (-1)^n\sin^2\frac{1}{n}$，且 $\sin^2\frac{1}{n} \le 1$，因此 $|a_n^2| \le |a_n|$。因为级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，所以级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 也收敛。
因此，经过判定，级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 均收敛。
很高兴为您效劳呢！据我了解，首先，设 $a_n = (-1)^n \sin\frac{1}{n}$。我们来看级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性。我们可以使用莱布尼茨交错级数判定法。莱布尼茨交错级数判定法的条件为：
1. $a_n$ 严格单调递减趋于零；
2. 当 $n$ 趋于无穷大时，$a_n$ 的绝对值趋于零。
首先证明条件 2。当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\sin\frac{1}{n} \rightarrow 0$，因此 $a_n$ 的绝对值趋于零。
然后证明条件 1。令 $b_n =\frac{1}{n}$，则 $b_n$ 严格单调递减趋于零。显然有 $a_n$ 的符号等于 $(-1)^n$ 的符号，即 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 符号相反。
当 $n$ 为奇数时，$a_{n+1} = -\sin\frac{1}{n+1}$，因此有 $|a_{n+1}|<|a_n|$。
当 $n$ 为偶数时，$a_{n+1} = \sin\frac{1}{n+1}$，因此有 $|a_{n+1}|<|a_n|$。
综上，$a_n$ 严格单调递减，且 $a_n \rightarrow 0$。因此，根据莱布尼茨交错级数判定法，级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
接着，我们来看级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 的收敛性。由于 $a_n^2 = (-1)^n\sin^2\frac{1}{n}$，且 $\sin^2\frac{1}{n} \le 1$，因此 $|a_n^2| \le |a_n|$。因为级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，所以级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 也收敛。
因此，经过判定，级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 均收敛。
能简单点的解题步骤吗
您好，亲亲！很高兴为您效劳呢！
据我了解，根据莱布尼茨判别法，对于级数 ∑_(n=1)^∞(-1)^n sin(1/n)，有：
1. a_n=|a_n|，即该级数的每一项皆为正数。此时我们可以使用夹逼准则，即通过比较该级数和收敛的级数 ∑_(n=1)^∞1/n，来证明该级数收敛。具体地，有：0 < |(-1)^n sin(1/n)| < 1/n∑_(n=1)^∞1/n 收敛，而且该级数的每一项均小于 ∑_(n=1)^∞1/n，因此原级数收敛。
2. a_n≠|a_n|，即该级数的正负号不稳定。此时我们不能使用夹逼准则，需要使用别的方法进行判断。但是，我们可以注意到，当 n=π/(2kπ+π/2)，其中k∈N+ 时，a_n=0，即该级数的某一项为0。根据收敛级数的必要条件，该级数的和不能为无穷大。因此，原级数必然收敛。
对于级数 ∑_(n=1)^∞a_n^2，我们可以使用比较判别法或比值判别法来证明该级数的收敛性。具体地，有：|a_n^2| = sin^2(1/n) <= 1/n^2∑_(n=1)^∞1/n^2 收敛，因此 ∑_(n=1)^∞a_n^2 收敛。
综上所述，原级数 ∑_(n=1)^∞(-1)^n sin(1/n) 收敛，级数 ∑_(n=1)^∞a_n^2 收敛。
很高兴为您效劳呢！
据我了解，根据莱布尼茨判别法，对于级数 ∑_(n=1)^∞(-1)^n sin(1/n)，有：
1. a_n=|a_n|，即该级数的每一项皆为正数。此时我们可以使用夹逼准则，即通过比较该级数和收敛的级数 ∑_(n=1)^∞1/n，来证明该级数收敛。具体地，有：0 < |(-1)^n sin(1/n)| < 1/n∑_(n=1)^∞1/n 收敛，而且该级数的每一项均小于 ∑_(n=1)^∞1/n，因此原级数收敛。
2. a_n≠|a_n|，即该级数的正负号不稳定。此时我们不能使用夹逼准则，需要使用别的方法进行判断。但是，我们可以注意到，当 n=π/(2kπ+π/2)，其中k∈N+ 时，a_n=0，即该级数的某一项为0。根据收敛级数的必要条件，该级数的和不能为无穷大。因此，原级数必然收敛。
对于级数 ∑_(n=1)^∞a_n^2，我们可以使用比较判别法或比值判别法来证明该级数的收敛性。具体地，有：|a_n^2| = sin^2(1/n) <= 1/n^2∑_(n=1)^∞1/n^2 收敛，因此 ∑_(n=1)^∞a_n^2 收敛。
综上所述，原级数 ∑_(n=1)^∞(-1)^n sin(1/n) 收敛，级数 ∑_(n=1)^∞a_n^2 收敛。
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